在R2中最重要的非线性坐标系是极坐标:x=rcosθ,y=rsinθ,利用上一节积分变量替换公式得出dxdy=rdrdθ;在R3中最重要的非线性坐标系是球坐标:x=rsinϕcosθ,y=rsinϕsinθ,z=rcosϕ,利用上一节积分变量替换公式得出dxdydz=r2sinϕdrdθdϕ.这启发我们对于n维欧氏空间而言,勒贝格测度m可以写
代入二重积分的公式，我们得到：∫∫D f(r, θ) r dr dθ = ∫[0, 2] dr ∫[0, π/2] r^2 dθ通过计算，我们可以得到这个积分的值为8π。综上所述，极坐标系下的二重积分是一个强大而实用的工具，尤其在处理与圆或旋转对称有关的问题时。通过将问题转化为极坐标形式，我们可以简化复杂的积分运算...
这样就可以把极坐标下的二重积分转化为这些小矩形的累加，每个小矩形刚好可以表示为rdrdθ。
在计算二重积分时,我们需要将积分区域从直角坐标系转换为极坐标系。转换后的积分表达式通常为:∫∫f(r, θ)rdrdθ这里,f(r, θ) 是被积函数,r 是极径,θ 是极角。注意,极坐标系的积分顺序通常是先对 r 积分,然后对 θ 积分。 适应范围 🌍极坐标系特别适用于以下两种情况: 积分区域与圆有关,例如 x...
极坐标二重积分交换积分次序是：r的上限r=2cost，即r²=2rcost，即x²+y²=2x，即圆（x-1）²+y²=1。角度从-π/4到π/4。则可得到极坐标下的积分区域。然后再接着做。先画出所围成的面积看图形，然后进行变换。一个半圆被切去一个扇形，角度从x轴看就是0到45度（扫过该区域），然后从...
一、我们先来一起回顾下极坐标是如何定义的：已知平面上一点P，在直角坐标系下坐标为（x,y），极坐标系下的坐标为 二、如何用极坐标计算二重积分：1）从原点出发画一条射线，观察这条射线与积分区域相交的部分，其中与原点距离最近的点所在的极坐标方程即为r的下限r1(Θ)，与原点距离最远点所在的极坐标方程即...
根据图示先画出平面坐标系下的区域D,极坐标表示为 D区域下的 ∫(0,1)dx∫(x²,x) dy其中积分后的括号分别表示积分下限和积分上限.按照积分的坐标转换法则可得到首先将区域边界转化为极坐标形式：y=x² 对应 rsinθ=r²cos²θ 化简为 r=sinθ/cos²θ ∫(0,...
极坐标下的侧面积积分公式表达旋转面积为∫2πy ds，其中ds代表弧长。具体来说，y等于rsinθ，而ds的平方等于(dx)^2 + (dy)^2，简化后得到(ds)^2等于(r^2+r'^2)(dθ)^2。这样，绕极轴旋转的面积可以表示为∫2πrsinθ √(r^2+r'^2) dθ。推导过程如下：我们先设定y等于rsinθ。
极坐标定积分极坐标定积分是以R为半径,θ为积分变元,计算曲线面积的积分。 设曲线ρ=R在区间[θ1,θ2]上非负连续,当dθ足够小时,曲线面积近似为直角三角形面积,等于一边长度乘以高,故曲线面积积分变量为1/2R×Rdθ,由此得到曲线周长面积的定积分。
R2 上的极坐标系和R3 上的球坐标系是两个初等微积分中非常经典的非线性坐标系统。本节主要介绍勒贝格测度可以被分解为 rn−1dr 和表面测度的积: 关于表面测度的一些基础构造可以由平面几何推广: 以下介绍一般勒贝格测度的极坐标变换定理: 由以上定理易得的两个推论: 接下来介绍对 \sigma (S^n) 的计算: 由...