19.3 有限生成模的初步分解 前言 对于一个含幺环 R ,我们希望研究 R -模的结构和性质。显然, R 的性质越良好,相应的模的结构和性质越清楚。我们已经知道域上的模(即线性空间)的性质,接下来讲推广到主理想整环上的模。 如果一个整环的任一理想均为某个元的主理想,则该环称为主理想整环(PID)。主理想也就是生成理想,即包含某个元的所
主理想环上有限生成模的循环分解 定义设 为 模，如果存在的 子集 满足 ，其中 表示由 生成的 的循环子模，则称 是可循环分解的，称 为 的一个循环分解。等价的定义为， 是可循环分解模如果 存在一组无关的生成元组 。自由模是可循环分解的。但是一般模不一定可循环分解，前面定理中的 就不是可循环分解模。
并且非数学院系通常不会强调Jordan标准型存在性的证明, 往往侧重其应用. 在这一部分中, 我们将会用模论为工具来研究Jordan标准型, 目的将其放置到更为一般的语境当中, 避开一些比较琐碎且不具一般性的内容. 我们将会看到, Jordan标准...
PID上有限生成模的结构定理是抽象代数中的重要结论之一,其在群论、拓扑、数论领域中具有重要意义: 定理1:当R为PID、M为有限生成R-模时,存在非负整数k、非零a1,a2,…,an∈R使得 (1)M≅Rk⊕R/(a1)⊕R/(a2)⊕⋯⊕R/(an) 在多数教材里,这一定理是如此证明的: 1、将M表为有限生成自由模的商F/N,...
定理1:主理想整环上自由模的子模仍是自由模,且子模的秩不大于原来模的秩。 证明:采用归纳法,不在此赘述。 这是研究主理想整环上有限生成模的最核心定理之一,如今我们已经明确了 是两个自由模的商模,对于自由模我们可以用一组基来确定它的结构,那么这两组自由模是否各存在一组基,能够像线性空间与其子空间的基...
定理的数学表述包含两部分核心内容:任意有限生成模可分解为自由部分与扭部分的直和;每个扭模可进一步分解为循环子模的直和,这些循环子模的生成元满足特定整除关系。这种层级分解结构类似于化学中的物质提纯过程,通过逐层分离获得基本组成单元。 证明思路采用递推方法。从生成元集合出发,利用主理想整环性质构造商模,通过...
简单来说有限生成模是一种模，它得元素集合可以由有限个基元素生成。这种结构的定义可能看起来抽象，但当我们从主理想整环的视角来理解时，事情就变得清晰起来。主理想整环本身具有一个重要特征——每个理想都可以由一个单一的元素生成。这致使其模结构更加有规律；也研究主理想整环中的有限生成模变得尤为重要。在数论...
百度试题 结果1 题目一个环的有限生成模是指: A. 由有限个元素生成的模 B. 由一个元素生成的模 C. 模的元素个数有限的模 D. 模的结构可以通过有限个生成元描述 相关知识点: 试题来源: 解析 D 反馈 收藏
是自由模,从而 M也是自由模。引理2:有限生成模 M的子模 N有限生成。证明:存在一个满射 φ:Rm→M,而由引理1,φ−1(N)是有限生成模,从而 N也是有限生成模。对M的生成元个数归纳,容易证明 M=Rk⊕M′,其中 M′是一个扭模,由引理2,M′也有限生成。不失一般性,以下假设 M=span{α1,α2,⋯,αn...
目录 收起 一、主理想整环上有限生成模结构 定理1 定理2 定理3 定理4 这一节将考虑在主理想整环(即所有的理想都是由一个元素生成的,简称为 PID )上的模结构,会发现其保持了许多良好的性质. 我们先给出几个定义,在这一章的证明中将反复用到. 扭元素: R -模 M 中的元素 m , ∃r∈R(r≠0),...