接下来,利用完全相同的手法,我们也可以证明积分上极其类似的定理:Lebesgue控制收敛定理 Lebesgue积分的控制收敛定理 Lebesgue控制收敛定理:设在一个可测集合 E 上定义着一族函数 fk∈L(E),k=1,2,3,… , 满足: fk(x) 几乎处处收敛于函数 f(x) , 即limk→∞fk(x)=f(x)a.e.x∈E . 级数族中的全体级...
这个定理表示的其实是极限和积分可以交换次序的意思,同时也表示了函数列fn(x)的变化最终受到了极限函数f(x)的控制,并最终收敛于f(x)。 Rieze定理 如下: 函数列的极限图解: 上图中的函数列sn(x)的极限是s(x),sn(x)是围绕s(x)上下波动的,所以可以认为极限函数s(x)最终控制了函数列sn(x)的变化。 其中...
1.函数序列{fn(x)}逐点收敛于f(x),即对于几乎所有的xX∈,有limn→∞fn(x)= f(x); 2.函数f(x)是可积的,并且有limn→∞∫|fn(x)-f(x)|dμ=0,其中dμ表示测度。 以下是Lebesgue控制收敛定理的证明: 在证明之前,我们需要先引入以下两个引理: ...
证明一由于fn(x) f (x),根据Rieze定理,存在子列fn (x) a.e.收敛于f (x). 由于 |fn(x)| F(x) a.e.于 E ,从而 |fni(x) F(x)a.e.于 E,得 F(x)可积,可得到f(x)在E上是可积的,且每个fn(x)在E上是可积的. 下证lim fn(x)dx ...
x)，或称为度量收敛于f(x)。用ε-N语言表述：对于任意的σ及ε＞0，存在N(ε,σ)＞0，使得当n＞N(ε,σ)时，mE[|fn-f|≥σ]＜ε.上图的σ是一个任意正数，为了便于后续证明，特意设定。以上证明了函数积分的绝对值小于等于函数绝对值的积分定理：其中a.e表示几乎处处的意思。
Fatou定理证明及控制收敛定理 13.Fatou 定理：{}lim lim n n n n n X X f X f f ≤∫∫若是上非负可测函数列，则其下极限函数的积分不会超过积分的下极限，即 1..(){()}{,,},1,2,,0,lim lim lim lim lim n n n n n n k n n n g f Levi n n n n n n n n n n X X ...
Fatou引理描述了一个关于非负函数的性质:如果有一系列Lebesgue可测函数𝑓𝑛(即𝑓𝑛 > 0),它们几乎处处收敛到函数𝑓,那么存在一个下确界的积分不等式。而控制收敛定理在此基础上增加了一个条件:每个𝑓𝑛都被一个可测函数𝑔控制。这使得积分与极限的换序成为可能,这与Riemann积分换序所需的一致收敛性...
作为一名小学生或初中生,这个“控制收敛定理证明”的题目对我来说也太难啦!这完全超出了我的知识范围呀!我都还不太明白啥是控制收敛定理呢,怎么去证明呀? 老师在课堂上讲数学定理的时候,我有时候都听得云里雾里的。这个控制收敛定理,感觉就像是天上的星星,看着闪亮亮的,可就是够不着。 我就好奇啦,那些数学家...
证明如图所示
这个定理的结论非常重要,和我们最后要证明的Lebesgue控制收敛定理有千丝万缕的联系. 相比之下,Levi定理的证明方法反而显得不那么重要了. Thm 2.1(Beppo Levi非负递增列的积分)设\left\{ f_k(x) \right\}是定义在E上的非负递增可测函数列,且有\lim_{k \rightarrow \infty}{f_k(x)}=f(x),~x\in E...