接下来,利用完全相同的手法,我们也可以证明积分上极其类似的定理:Lebesgue控制收敛定理 Lebesgue积分的控制收敛定理 Lebesgue控制收敛定理:设在一个可测集合 E 上定义着一族函数 fk∈L(E),k=1,2,3,… , 满足: fk(x) 几乎处处收敛于函数 f(x) , 即limk→∞fk(x)=f(x)a.e.x∈E . 级数族中的全体级...
这个定理表示的其实是极限和积分可以交换次序的意思,同时也表示了函数列fn(x)的变化最终受到了极限函数f(x)的控制,并最终收敛于f(x)。 Rieze定理 如下: 函数列的极限图解: 上图中的函数列sn(x)的极限是s(x),sn(x)是围绕s(x)上下波动的,所以可以认为极限函数s(x)最终控制了函数列sn(x)的变化。 其中...
的一个重要定理,它在测度论和积分论中有着广泛的应用。该定理提供了一种在逐点 收敛条件下对积分的操作,强化了Lebesgue积分的理论基础。本文将对Lebesgue控 制收敛定理的证明及其应用进行详细阐述。 一、Lebesgue控制收敛定理的证明 Lebesgue控制收敛定理的典型陈述如下:设函数序列{fn(x)}在测度空间上几乎处处收 ...
(15 分) n E E 证明 证明一由于fn(x) f (x),根据Rieze定理,存在子列fn (x) a.e.收敛于f (x). 由于 |fn(x)| F(x) a.e.于 E ,从而 |fni(x) F(x)a.e.于 E,得 F(x)可积,可得到f(x)在E上是可积的,且每个fn(x)在E上是可积的. 下证lim fn(x)dx...
以下为Rieze定理的表述：函数列的极限图解：图中的函数列sn(x)的极限为s(x)，sn(x)围绕s(x)上下波动，因此可以认为极限函数s(x)最终控制了函数列sn(x)的变化。其中fn→f表示依测度收敛：假设{f}(x)是定义在可测集E上几乎处处有限的可测函数列，若存在E上几乎处处有限的可测函数f(x)，满足...
勒贝格控制收敛定理,是数学分析中的又一个重要定理,它指出:对于可积函数序列,如果其逐项可积,并且每个函数都可以被一个可积函数控制,那么这个序列的积分等于序列中每个函数的积分的极限。 勒贝格控制收敛定理的证明过程主要是利用了勒贝格逐项积分定理,以及函数的控制性。首先,根据勒贝格逐项积分定理,序列的积分是可积的...
Fatou引理描述了一个关于非负函数的性质:如果有一系列Lebesgue可测函数𝑓𝑛(即𝑓𝑛 > 0),它们几乎处处收敛到函数𝑓,那么存在一个下确界的积分不等式。而控制收敛定理在此基础上增加了一个条件:每个𝑓𝑛都被一个可测函数𝑔控制。这使得积分与极限的换序成为可能,这与Riemann积分换序所需的一致收敛性...
证明如图所示
控制收敛定理证明 作为一名小学生或初中生,这个“控制收敛定理证明”的题目对我来说也太难啦!这完全超出了我的知识范围呀!我都还不太明白啥是控制收敛定理呢,怎么去证明呀? 老师在课堂上讲数学定理的时候,我有时候都听得云里雾里的。这个控制收敛定理,感觉就像是天上的星星,看着闪亮亮的,可就是够不着。 我就...
这个定理的结论非常重要,和我们最后要证明的Lebesgue控制收敛定理有千丝万缕的联系. 相比之下,Levi定理的证明方法反而显得不那么重要了. Thm 2.1(Beppo Levi非负递增列的积分)设\left\{ f_k(x) \right\}是定义在E上的非负递增可测函数列,且有\lim_{k \rightarrow \infty}{f_k(x)}=f(x),~x\in E...