这种方法中引入了一个或一组新的未知数，即拉格朗日乘数，又称拉格朗日乘子，或拉氏乘子，它们是在转换后的方程，即约束方程中作为梯度（gradient）的线性组合中各个向量的系数。方法介绍 在数学中的最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·拉格朗日命名）是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时...
1. 数学家拉格朗日简介 约瑟夫·路易·拉格朗日(法语:Joseph-Louis Lagrange,1736年1月25日-1813年4月10日),出生时名为朱塞佩·路易吉·拉格朗吉亚或朱塞佩·洛德维科·德·拉·格朗日·图尼尔,是一位法国籍意大利裔数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士的腓特烈大帝在柏林工作了20年,被腓特烈大帝称做“欧洲最伟大...
为了解决这类问题,我们需要一个更为强大的工具 —— 拉格朗日乘子法。 拉格朗日乘子法是优化理论中的一个核心概念,它提供了一种优雅的方式来处理带约束条件的优化问题。这种方法不仅在理论上具有重要意义,而且在实际应用中也极为广泛,从经济学中的成本最小化问题到工程学中的设计优化,都可以见到它的身影。通过引入...
拉格朗日乘子法 拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier)有很直观的几何意义。 举个2维的例子来说明: 假设有自变量x和y,给定约束条件g(x,y)=c,要求f(x,y)在约束g下的极值。 我们可以画出f的等高线图,如下图。此时,约束g=c由于只有一个自由度,因此也是图中的一条曲线(红色曲线所示)。显然地,当约束曲线g=c与...
在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。 我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可...
拉格朗日乘子法的证明 拉格朗日乘子法的证明 在学习支持向量机的时候,计算对偶问题时用到了拉格朗日乘子法((Lagrange multiplier method)),回想起高中时使用拉格朗日乘子法求不等式约束条件下的最优化问题时的困惑,虽然一直知道用,但是却不知道为什么拉格朗日乘子法能够用。知其然更应知其所以然,本文就来扒一扒“...
拉格朗日主要处理2、3两种情况,在第3种情况上需要加上KKT条件(Karush-Kuhn-Tucker),本文将主要对拉格朗日进行详细讲述,KKT条件将在另外一篇博文进行讲解。 2. 拉格朗日乘子法 s.t. 指的是subject to ,“受限于”的意思 m 表示有m 个约束条件 则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述,这里主要...
所以只要满足上述等式,且满足之前的约束 hi(x)=0,i=1,2,…,m,即可得到解,联立起来,正好得到就是拉格朗日乘子法。 这里只是直观展示了一下拉格朗日乘子法的几何推导 ,并没有给出详细的证明。 当约束有多个时 用向量语言来表述就是:如果条件极值点
1. 定义拉格朗日函数:将目标函数和约束条件用拉格朗日乘子法表示,构造一个新的函数,称为拉格朗日函数。 2. 求驻点:对拉格朗日函数求导,使其等于0,得到一组驻点。 3. 最优性条件:在驻点处,目标函数的梯度等于拉格朗日函数的梯度与约束函数梯度的线性组合,即满足KKT条件。 4. 最优解:如果驻点同时满足KKT条件和约束...