对偶问题 一般地,考虑具有m个等式约束和n个不等式约束,且可行域 \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^{d} 非空的优化问题: \begin{array}{rl}\min _{\boldsymbol{x}} & f(\boldsymbol{x}) \\ \text { s.t. } & h_{i}(\boldsymbol{x})=0 \quad(i=1, \ldots, m) \\ & g_{j}(\bold...
拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法,通过引入拉格朗日乘子,可将有d个变量与k个约束条件的最优化问题转化为具有d+k个变量的无约束优化问题的求解。 拉格朗日对偶性 原始问题: 假设 , , 是定义在 上的连续可微函数,考虑约束最优化问题: , s.t. , 称此约束最优化问题为原始最优化问题或原...
💡 总结:凸优化通过最小化目标函数来找到全局最优解,而且目标函数和约束函数都是凸函数。🔄 求解方法:凸优化可以通过梯度下降法、牛顿法或拉格朗日对偶问题的求解来实现。前两种方法相对简单,而拉格朗日对偶问题的求解则需要满足一些条件,如Slater条件和KKT条件,以确保强对偶性的成立。📖 推荐阅读:支持向量机(SVM)...
今天我们将学习对偶性、优化问题和拉格朗日乘数(duality, optimization problems and Lagrange multipliers.)。 对偶性Duality 在数学优化理论中,对偶性意味着可以从两个角度来看待优化问题,即原始问题或对偶问题(对偶原理)the primal problem or the dual problem (the duality principle).。对偶问题的解为原始(最小化)...
1 前言 拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier) 和 KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 条件是求解约束优化问题的重要方法,在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用 KKT 条件。当然,这两个方法求得的结果只是必要条件,只有当目标函数是凸函数的情况下,才能保
拉格朗日对偶 等价的。拉格朗日对偶是其中的典型例子。对于如下带等式约束和不等式约束的优化问题: 与拉格朗日乘数法类似,构造广义拉格朗日函数: 必须满足的约束。 原问题为: 即先固定住x,调整拉格朗日乘子变量,让函数...个候选x使得所有不等式约束都是严格满足的,即对于所有的i都有gi (x)<0,不等式不取等号,则强...
这就是不等式约束优化问题的 KKT 条件 (Karush-Kuhn-Tucker ConditionKarush-Kuhn-Tucker Condition),KKT 条件是拉格朗日乘子法在不等式约束优化问题上的泛化。KKT 条件是极小点的必要条件,即满足 KKT 条件不一定是极小点,但极小点必满足 KKT 条件。对偶问题 将原始问题转化为对偶问题是求解带约束优化问题的一种...
上面两种情况用拉格朗日乘子法对偶问题来解释。 对于第一种情况,如果对目标函数求最小化即 是凹函数,那么对 求最小值等同于 ,而 可分为两部分,第一部分即目标函数 ,第二部分为带有“乘子” 的约束部分;容易看出第一部分不包含 ,所以 也可以分成两部分优化: ...
但是,在实际应用过程中,我们经常遇到高维的优化问题,这时候使用拉格朗日乘子法求解就会变得十分困难。 为了解决这个问题,我们可以采用拉格朗日对偶性来求解原始问题的对偶问题。具体来说,我们可以将原问题中的约束条件通过拉格朗日乘子法转化为目标函数中的额外项,然后将目标函数最小化,得到原始问题的最优解。然后,我们再...
这种方法通过引入拉格朗日乘子来将原始问题转化为对偶问题,并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。 举个例子来说明对偶问题拉格朗日乘子法的应用。假设我们有一个最优化问题,目标是最小化函数f(x),同时满足约束条件g(x)=0。我们可以构建拉格朗日函数L(x,λ) = f(x) + λg(x),其中λ是拉格朗日乘子。