托勒密不等式在几何学和数学中有着广泛的应用。下面我们来看几个例子。 1. 四边形内部任意两点之间的距离 假设我们要求四边形ABCD内部任意两点P和Q之间的距离,如图所示: 根据托勒密定理,我们可以得到: AC² = AD² + CD² BD² = AB² + AD² BC² = AB² + CD² 将上述三个式子带入托勒...
从托勒密不等式出发,我们还可以导出勾股定理:当四边形 ABCD 为矩形时,四个顶点共圆,对边长度相等,对角线长度相等,所以有:|BC|2+|AB|2=|AC|2而且,在反演变换保圆性、托勒密不等式和矩形性质的证明中不会用到上述平方关系,所以这也是证明勾股定理的一种有效方法。 当然,托勒密不等式的平面几何证法也比较简单: ...
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尽管托勒密最著名的想法被证明是错误的，但他在几何学方面做了很多非常有用的工作，我们将讨论其中一个非常好的想法。您可能已经看到了三角形的类似版本，称为三角形不等式。现在让我们看看如何证明这一点。证明 让我们首先绘制一个图，该图在平面中包含4个点作为四边形ABCD的顶点。现在，我们通过分别在每个对角线上...
三、托勒密不等式 对于任意四边形ABCD,其对角线交点为E,则有: AB\cdot CD + AD\cdot BC \geq AC\cdot BD ,在A,B,C,D四点共圆时取等 四、托勒密不等式证明 作\angle BAF = \angle CAD ,作 \angle DAF = \angle BAC ,连接DF 可得\triangle ABF 相似于 \triangle ACD ,所以 \frac{AB}{AC} =...
托勒密不等式的表述是：它被称为三角形不等式。现在让我们看看如何证明它。证明 让我们从画一个包含平面上4个点的图开始，作为一个四边形ABCD的顶点。现在，我们在每条对角线上分别标记两个点X和Y进行构造，比如∠BAX =∠CAD，∠ABY =∠ACD(下图)。接下来，我们考虑三角形ΔABE和ΔACD（下图）：注意到：∠ ...
由于“托勒密定理”是“托勒密不等式”的特殊情况,因此我们先了解“托勒密不等式”及其证明. 1.托勒密不等式 任意凸四边形中,两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积. 如图,四边形ABCD中,求证:AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 有意思的是,苏科版教材九下...
由于“托勒密定理”是“托勒密不等式”的特殊情况,因此我们先了解“托勒密不等式”及其证明. 1.托勒密不等式 任意凸四边形中,两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积. 如图,四边形ABCD中,求证:AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 有意思的是,苏科版教材九下P58的例4在本质上就是证明这个结论的过程. ...
知乎,中文互联网高质量的问答社区和创作者聚集的原创内容平台,于 2011 年 1 月正式上线,以「让人们更好的分享知识、经验和见解,找到自己的解答」为品牌使命。知乎凭借认真、专业、友善的社区氛围、独特的产品机制以及结构化和易获得的优质内容,聚集了中文互联网科技、
直接代入托勒密不等式得到 BDx≤x+x根号6 即BD≤1+根号6 解完。各位不妨尝试一下用解三角形的方式解这道题,以此对比一下。 托勒密不等式的两种证明方法都是绝妙的。但是第一种方法把形象的形转化为了抽象的数,这是很棒的转化。 大概这就是 “数缺形时少直观,形少数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事...