在这样的背景下,如果使用选择公理的话,就出现了能够推导出巴拿赫-塔斯基悖论的结果。对球分割(=从构成球的点当中选出一部分组成新的集合)的时候,就需要使用到选择公理。 在那之后对选择公理的争论继续升温,到1938年终于画上了休止符。以“不完备定理”著名于世的、出生于捷克的数学家库尔特·哥德尔(1906～1978)证...
巴拿赫塔斯基悖论巴拿赫塔斯基悖论 波拿巴拿赫塔斯基悖论是现代哲学中由西班牙哲学家尼古拉斯·波拿巴拿赫塔斯基(Nicolas Pomponazzi)提出的一个著名悖论,也称波拿巴拿赫塔斯基博弈论或有残酷性博弈论。它指出,面对两个自然相互矛盾的观点(一个表示相信,另一个表示不相信),任何一个持有的观点无论他选择什么,都会受到两种...
巴拿赫-塔斯基悖论 (Banach-Tarski Paradox)是一个从古典几何学过渡到解析几何后失效的经典例子,其展示了对于一个单位球 (Unit Ball)B:={(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2=1}可以被分解为有限个单位(比如5块),再重组后(刚体移动和旋转)可以形成2个不连接的单位球,相当于体积变成了2倍!从一个单位球变成了两个单...
如果不用选择公理，使用 Zermelo-Fraenkel（简记为 ZF）集合论中的公理得不到巴拿赫-塔斯基悖论，但是消除不了其它违反直觉的悖论，例如 Sierpiński–Mazurkiewicz 悖论（[2]），由另两位波兰数学家谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）和马祖凯维奇（Stefan Mazurkiewicz）发现。在哥德尔于1938年证明了选择公理与 ZF集合论中...
巴拿赫-塔斯基悖论(或称豪斯道夫-巴拿赫-塔斯基佯谬,又名“分球怪论”),是一条数学定理。 1924年, 斯特凡·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基首次提出这一定理。 验证推导 基本上,寻找这个分球的奇怪方法可以分为4个步骤: 1、找到把一个具有两个生成元的自由群进行分割的特殊方法; 2、找到一个三维空间中群同态于这两...
有了选择公理，我们就可以开始证明巴拿赫-塔斯基悖论了。证明的思路大致如下：我们先考虑球面（也就是球的表面）而不是实心球。因为如果我们能够把一个球面变成两个球面，那么我们就可以用同样的方法把每个半径相同的同心球面都变成两个球面，然后把这两个球面分别向内扩张，就得到了两个实心球。这样就把问题简化了...
【Vsauce@Youtube】(自译)神奇的Banach-Tarski悖论,把一个球体拆开拼成两个跟原来一样大小的球体。虽然叫悖论,但其实不是真的悖论,而是经过严格证明的数学定理,没有任何逻辑矛盾,只是因为貌似违反常识,才被称为悖论。Vsauce的麦克来帮你理解这个奇妙的证明。视频开
有了选择公理,我们就可以开始证明巴拿赫-塔斯基悖论了。证明的思路大致如下: 我们先考虑球面(也就是球的表面)而不是实心球。因为如果我们能够把一个球面变成两个球面,那么我们就可以用同样的方法把每个半径相同的同心球面都变成两个球面,然后把这两个球面分别向内扩张,就得到了两个实心球。这样就把问题简化了一些。
Banach-Tarski悖论呈现了一个令人费解的概念,即一个实心球可以被分割并重建成两个相同的球,看似违背了体积守恒定律。这个悖论由数学家斯特凡·巴纳赫和阿尔弗雷德·塔斯基于1924年提出,依赖于具有争议的选择公理和非可测集合的构建。这是一个引人注目的例子,展示了某些数学原理如何导致直觉上反直观和看似不可能的结果...
巴拿赫-塔斯基悖论依赖于实数的某些特性，而这些特性，并不直接模拟现实世界的物理性质。特别是，悖论中提到的能够创建不可测集的能力，在物理世界中并没有对应的现象。实际上，在物理世界中，任何坚固物体的每个部分都具有确定且为正数的体积。因此，如果我们的科学理论依赖于实数的这种能够产生不可测集的属性，那么...