1924年,波兰数学家斯特凡·巴拿赫(1892～1945)和阿尔弗雷德·塔斯基(1901～1983)发现了一个惊人的数学事实。那就是,“把一个球分割为有限个部分,把这些部分重新组合,可以组成和原来的球相同大小的两个球(实际上不仅可以组成两个,还可组成任意个)”。也就是说,把一个球分割打碎后再组合即可得到两个和原来相同的...
巴拿赫-塔斯基悖论 (Banach-Tarski Paradox) 是一个从古典几何学过渡到解析几何后失效的经典例子,其展示了对于一个单位球 (Unit Ball) B :=\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x^2+ y ^2 + z^2 = 1\} 可以被分解为有限…
这就是巴拿赫-塔斯基悖论背后的数学原理。它利用了选择公理、自由群、旋转群、不可测集等抽象而又深奥的概念，构造出了一个看似荒谬而又严格正确的结果。它展示了数学中可能存在着一些超越我们直觉和常识的现象，让我们对数学的奥妙和神秘有了更深刻和更广阔的认识。
如果不用选择公理，使用 Zermelo-Fraenkel（简记为 ZF）集合论中的公理得不到巴拿赫-塔斯基悖论，但是消除不了其它违反直觉的悖论，例如 Sierpiński–Mazurkiewicz 悖论（[2]），由另两位波兰数学家谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）和马祖凯维奇（Stefan Mazurkiewicz）发现。在哥德尔于1938年证明了选择公理与 ZF集合论中...
这就是著名的巴拿赫-塔斯基定理（悖论）。然而，这个悖论，在现实世界中是无法实现的，因为它依赖于非勒贝格可测集的存在，这些集合是理论上的数学构造，在物理世界中没有对应。此外，物理世界的守恒定律，也限制了通过几何操作来无中生有地增加物质的体积。因此，巴拿赫-塔斯基悖论更多地是数学与物理之间界限的一个...
巴拿赫塔斯基悖论巴拿赫塔斯基悖论 波拿巴拿赫塔斯基悖论是现代哲学中由西班牙哲学家尼古拉斯·波拿巴拿赫塔斯基(Nicolas Pomponazzi)提出的一个著名悖论,也称波拿巴拿赫塔斯基博弈论或有残酷性博弈论。它指出,面对两个自然相互矛盾的观点(一个表示相信,另一个表示不相信),任何一个持有的观点无论他选择什么,都会受到两种...
在数学的领域中，存在着一个引人深思的悖论，被称为巴拿赫-塔斯基悖论，也称为豪斯道夫-巴拿赫-塔斯基悖论或者“分球怪论”。这一悖论首次被提出是在1924年，由斯特凡·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基两位数学家共同阐述。悖论的核心内容是，在选择公理的框架下，一个实心的三维球体可以被分成有限且不勒贝格可...
这个论点被称为 Banach-Tarski（巴拿赫-塔斯基） 悖论，以数学家 Stefan Banach 和 Alfred Tarski 的名字命名，他们在 1924 年设计了它。它证明了根据数学的基本规则，可以将一个立体的三维球分裂成小块，重新组合形成两个相同的原件副本。 一个苹果变成两个。“大家马上就会发现这完全违反直觉，”芝加哥伊利诺伊大学...
在三维空间中，悖论依然存在，但在二维欧几里德平面上，如圆盘可以被分割成有限块变成面积相同的实心正方形，这是塔斯基分割圆问题的一个例子。悖论挑战了我们对体积的常规理解，尤其是对于有界子集，如果等度分解的子集被视为具有相同体积，那么定义体积就变得困难。巴拿赫-塔斯基悖论并非逻辑上的自相矛盾，...
在承认选择公理的前提下,可以得到一个著名的定理,初看简直是悖论。 巴拿赫-塔斯基定理(Banach–Tarski "paradox"):给定一个三维空间的实心球体,存在一种分割球的方法,使得可以把球分成有限多的部分(对球体来说,5部分就够了),然后只通过平移和旋转,可以重组成两个实心球体,每一个都和原来球体的体积(也就是测度)...