§19.6 主理想整环上的模 §19.7 当主理想整环为多项式环时 §19 主理想整环(PID) §19.1 多项式环 设F 为一个域,F[t] 为多项式环。 定理19.1 若I⊂F[t] 是一个理想,则存在 p(t)∈F[t] 使得I=(p(t)) 即每一个理想都由一个单一的元素生成。 证明:若 I=(0),则已经完成。因此,我们可以假设存在次数 ⩾0 的元素
19.1 主理想整环上的有限生成自由模 19.2 挠模与无挠模 19.3 有限生成模的初步分解 前言 对于一个含幺环 R ,我们希望研究 R -模的结构和性质。显然, R 的性质越良好,相应的模的结构和性质越清楚。我们已经知道域上的模(即线性空间)的性质,接下来讲推广到主理想整环上的模。 如果一个整环的任一理想均为某...
主理想整环定义 主理想整环是一个环论术语,指的是每个理想都是主理想的整环;若交换环的每个理想都是主理想,则称它为主理想环。整环是抽象代数中最基本的概念之一。 一个环叫做一个主理想环,假设每一个理想都是一个主理想,则称一个主理想环,主理想整环一定是一个唯一因子分解环。
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命题1.1:交换幺环上的模中任意元素的零化子均为的理想. 现在注意, 因为我们前面已经论证了是模, 而是主理想整环, 因此对于任意的, 其零化子为主理想, 它可以由中的一个元素生成, 也就是说存在多项式使得 我们知道交换幺环上...
主理想整环(Principal Ideal Domain,PID):若 (R, +, ·) 是整环,且 R 的任意一个理想都是主理想(即对任意的 I ◁ R,存在 a ∈ R,使得 I = (a) = Ra),则称 R 是主理想整环. 整除,因子,倍元:(R, +, ·) 是整环,a ∈ R \ {0},b ∈ R,若存在 c ∈ R,使得 b = ac,则称 a ...
每个主理想环都是整环,但整环不一定是主理想环。 整环(Integral Domain)是无零因子的交换环,而主理想环(Principal Ideal Ring, PIR)要求所有理想都是主理想。若主理想环定义在交换环上(即主理想整环,PID),则其必须满足整环的条件。因此,主理想整环是整环的子集,但并非所有整环都满足所有理想为主理想,例如多项式...
【题目】F[x]是主理想整环. 相关知识点: 试题来源: 解析 【解析】 证明 设I是F[x]的一个理想,m(x)是I中最低次的首一多项式(monic poly nomial),即首项系数为1的多项式.首先看出,在I中,这样的多项式是唯一的.事 实上,若还有一个首一的多项式n(x),且$$ d e g n ( x ) = d e g m ( x...
抽象代数中的环论(第三篇):为推广带余除法和裴蜀定理分别引入欧几里得环与主理想整环 引言: 环论的研究是基于对整数的结构的一般化得到的, 作为环的母体,具有非常多优良的性质. 并且向的扩充也是抽象代数史上一种研究思想的范例...
因此r=0⇒b=qm⇒I=<m>⇒Z是主理想整环. 为了证明PID是UFD.我们需要以下引理: 引理1:设R是PID.若R中有一个序列a1,a2,⋯,an,⋯它满足ai是ai−1的真因子.则这个序列一定有限. 证明: 用这个序列可以生成一个理想的序列<a1>,…,<an>,⋯满足<a1>⊆<a2>⊆⋯⊆<an>⊆⋯(每一个...