主理想整环定义 主理想整环是一个环论术语,指的是每个理想都是主理想的整环;若交换环的每个理想都是主理想,则称它为主理想环。整环是抽象代数中最基本的概念之一。 一个环叫做一个主理想环,假设每一个理想都是一个主理想,则称一个主理想环,主理想整环一定是一个唯一因子分解环。
主理想整环上的所有非零素理想都是极大理想。 开始证明。 假设(p)是主理想整环R上的非零素理想。 令I=(m)为包含(p)的任意理想。 我们需要说明的是,要么I=(p),要么I=R。 由于p∈(m),所以存在某个r∈R使得p=rm。 由于rm∈(p)且(p)为素理想。 所以要么r在(p)里,要么m在(p)里。 如果m∈(p)...
定义:若交换环的每个理想都是主理想,则称它为主理想环.特别地,如果主理想环是整环,我们称它是主理想整环(PID). 为了更好地理解这个定义,我们举个例子. 例:整数环Z是一个整环,设I是Z的理想,则存在m∈I,m非零是I中绝对值最小的数(0除外). 设b∈I. 若b=0,则b=0⋅m 若b≠0,有带余除法b=qm+...
1 一个整环是主理想整环，如果它的所有理想都是主理想。2 Z[x]不是主理想整环。反设由x和2生成的理想(x,2)是主理想，那么存在元素d(x)，使得(x,2)=(d(x))，那么：(x,2)=Z[x]。但是注意，1不在(x,2)里面，导致矛盾。3 主理想整环R的每个既约元是素元。假设p是既约元，但是不是素元，那么...
主理想整环(Principal Ideal Domain,PID):若 (R, +, ·) 是整环,且 R 的任意一个理想都是主理想(即对任意的 I ◁ R,存在 a ∈ R,使得 I = (a) = Ra),则称 R 是主理想整环. 整除,因子,倍元:(R, +, ·) 是整环,a ∈ R \ {0},b ∈ R,若存在 c ∈ R,使得 b = ac,则称 a ...
所以.综上所述,整数环的所有理想都是主理想。所以整数环是主理想整环.证明 我们已经知道整数环是整环.设是的任意一个理想.当时,。现在设.显然,中必有正整数。将中的最小正整数记做.考察任意的:根据带余除法,存在整数和,使得,。由此可见,.假如,则与为中的最小正整数的事实矛盾。因此,从而,。由于的任意性,...
一、主理想整环的定义及性质 我们知道,在整数环中,如果d(a,b),则存在 s,tZ,使 asbtd.即在整数环中,任何两个元素的最大公因子可表示为 a与b的一个线性组合.如果我们把这一条性质加以推 广,就得到下面的定义:2 前页后页目录返回 定义4.4.1设D为整环,如果D的每一个理想都是主理想,...
证明 我们已经知道整数环Z是整环.设/是Z的任意一个理想.当/={0} 时,/ = (0),现在设{0},显然,/中必有正整数.将/中的最小正整数记做〃.考 察任意的-re/:根据带余除法,存在整数彳和/,使得x=qa+r, 00,则与a'为/中的最小正整数的事实矛盾.因此r = 0,从而,xg(<7).由于-re /的任意性,因此...
【题目】F[x]是主理想整环 相关知识点: 试题来源: 解析 【解析】证明设I是F[x]的一个理想,m(x)是I中最低次的首一多项式(monic polynomial),即首项系数为1的多项式.首先看出,在I中,这样的多项式是唯一的.事实上,若还有一个首一的多项式n(x),且degn(x)=degm(x),则b(x)=m(x)-n(x)∈I 将b...