黎曼流形是一个微分流形,其中每点的切空间都定义了点积,并且其数值随点平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。黎曼流形可以形式化地定义为一个二元组,其中是一个平滑流形,是一个定义在上的光滑对称正定的二次型场,称为黎曼度量。 应用领域 黎曼流形在现代物理学中...
希尔伯特流形是模空间为希尔伯特空间的巴拿赫流形。定义 希尔伯特-黎曼流形是指定了黎曼度量的希尔伯特流形。设M是希尔伯特微分流形，M上的黎曼度量指的是M上的一个连续的正定对称二阶协变张量场g。M连同其上给定的黎曼度量g称为希尔伯特-黎曼流形，记为(M,g)，这时，∀p∈M，由 给出了TₚM上的内积ₚ=gₚ...
黎曼流形可以用数学语言表述为一个三元组(M,g,)，其中的M代表流形本身，g代表黎曼度量（称为度规），代表了一个相关联的导数运算。在黎曼流形中，切向量位于该空间的切空间中，通常表示为箭头或者粗体字母，如或者v。切向量本身也可以关联到沿曲线的导数，这使得黎曼流形更加紧密地与微积分和微分几何学相联系。02...
3. 基于收缩的黎曼流形优化理论与方法 3.1 线搜索和收缩 3.2 黎曼最速下降法 3.3 黎曼牛顿法 3.4 黎曼共轭梯度法 3.5 黎曼信赖域法 3.6 黎曼拟牛顿法 【注】由于先看的Boumal的《An introduction to optimization on smooth manifolds》,且之前没有太多拓扑、流形等这方面的数学基础,很多概念和术语未接触过,读起...
黎曼流形的变换群是黎曼流形上的具有特殊性质的各种变换群，其中最重要的是等距变换群（又称运动群）、射影变换群和共形变换群。解释说明 黎曼流形上的具有特殊性质的各种变换群，其中最重要的是等距变换群（又称运动群）、射影变换群和共形变换群。它主要研究黎曼流形上的各种变换群的不变性质以及容有各种变换群的...
给定一个n维黎曼流形 (M, g)，其中g是度量张量。黎曼曲率张量R是一个四阶张量，可以表示为 R^i_jkl。里奇张量 R_ij 是从黎曼曲率张量 R^i_jkl 获得的二阶张量，通过对第一个和最后一个指标求和并消去：R_ij = R^k_ikj 里奇张量是对称的，即 R_ij = R_ji。它描述了流形上不同方向的平均曲率，...
每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1 的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物的；C是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆的；黎曼球C ∪ {∞}是这样的一个例子.对于每个闭抛物黎曼...
而对于黎曼流形,它是一种具有自然度量构造的流形,最基本的例子是欧几里德空间,即我们所熟知的三维空间。在黎曼流形中,我们可以定义黎曼度量,进而得出该流形的度量性质。 二、黎曼度量与曲率 对于一个黎曼流形,黎曼度量就是该流形上的一个二次型(quadratic form)。通过定义该二次型,我们可以得出流形上每两点之间的距...
解析 黎曼流形是一个光滑流形,它配备了一个光滑的正定对称二阶张量,称为度量张量,它在每一点定义了内积。度量张量允许我们在流形上测量长度和角度。一个具体的例子是地球表面,它可以被看作是一个黎曼流形,因为在地球表面上两点之间的最短路径是大圆航线,这与黎曼几何中的测地线概念相符。