高斯曲率是曲面几何中描述某一点总弯曲程度的核心指标,由该点两个主曲率的乘积构成。其值可正、负或零,分别对应球面、马鞍面及平面等几何形态,具
也被称为高斯曲率,原因我们将很快解释。 这个内蕴的概念 K 是由高斯(经过十年的不懈研究)在1827年出版的革命性的《关于曲面的一般研究》中发表的。 正如我们现在所解释的,高斯引入了这个概念来测量一般不规则曲面上每个点的曲率,如【1.9】中所示。这个曲率的想法将主导未来的一切。根据哈里奥特和兰伯特的结果(1.8)...
实际上，从前面的讨论(尤其是高斯绝妙定理)可知，高斯曲率衡量的是曲面的度量(也就是第一基本形式)，偏离标准度量(高斯曲率为0的度量，也就是Ⅰ=du²+dv²)的程度。例如我们简单地考虑在平面一点相切的球面，而半径为R的球面高斯曲率为1/R²,可以直观地看到，高斯曲率越大(半径越小)，与平面的偏离程度越...
从古典微分几何到现代微分几何发展的一个标志就是“高斯绝妙定理”,高斯曲率本来是用曲面的第二基本形式定义的,但最后发现它完全可以由第一基本形式决定,即高斯曲率是一个内蕴量。现代微分几何就是研究几何的内蕴性质,而古典微分几何是从上帝视角来研究几何对象。比如判断地球是平的还是弯曲的,如果能在太空中观察固然是...
若主曲率半径分别为 R1 和 R2，则该点的高斯曲率 K 定义为：K = 1/R1 R2 高斯曲率的计算方法 一般情况下，通过公式计算曲面上某一点处的高斯曲率比较困难，需要使用微分几何学中的曲率张量来求解。不过对于特殊情况下的曲面，可以使用一些简便的公式来计算高斯曲率。例如，对于旋转曲面（如圆锥曲面、圆柱曲面），...
高斯曲率:微分几何中,曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1和κ2的乘积。它是曲率的内在度量,也即,它的值只依赖于曲面上的距离如何测量,而不是曲面如何嵌入到空间。这个结果是高斯绝妙定理的主要内容。 曲面造型上的应用:当曲面的高斯曲率变化比较大比较快的时候表明曲面内部变化比较大也就意味这曲面的光滑程度越低...
高斯曲率(Gaussian curvature)是曲面上某一点上的曲率特征。对于平面上的点,高斯曲率为0;而对于在该点上有凸凹变化的表面点,高斯曲率即为非零值。高斯曲率可以刻画曲面在该点的弯曲程度。在数学上,高斯曲率为K。 平均曲率(mean curvature)是曲面上某一点上与两个主曲率相关的平均值。主曲率是曲面上某一点处的两...
高斯曲率是曲面的内蕴量,只与曲面的第一基本型相关,与坐标轴的选取和参数化表示无关。 言归正传,求解三角网格表面的高斯曲率,就需要利用离散微分几何,我采用的公式为:这个公式的几何意义是比较直观的,2...法线的反向弯曲,形成马鞍面),鼻尖处绿色的为典型的抛物点(两个主曲率同号,曲面沿所有方向都朝向同一侧弯曲...
高斯曲率是一个纯几何的量,它不依赖于曲面在空间中的具体位置和方向。简单来说,它反映的是曲面在每一点处的内在弯曲特性。 那它是怎么计算出来的呢?这就涉及到一些较为复杂的数学知识了。在数学上,高斯曲率可以通过曲面的第一基本形式和第二基本形式来计算。对于大多数非数学专业的人来说,理解这个计算过程可能会...