n!nn=1n⋅2n⋅3n⋯nn≤1n,这是因为展开后的各项因子都不大于1.
我们将证明正整数n的n1次方和正整数n1的n次方之间存在以下关系:n的n1次方等于n1的n次方。 假设n=2,n1=3,即我们要证明2的3次方等于3的2次方。 2的3次方等于2×2×2=8。 3的2次方等于3×3=9。 通过计算,我们可以发现2的3次方等于3的2次方。 我们再假设n=4,n1=5,即我们要证明4的5次方等于5的4次...
可以证明n!小于n的n次方:n! = n*(n-1)*...*1 < n*n*...*n = n的n次方
=[(n-1) +1]^n -n(n-1) -1 =(...)(n-1)^2 +C(n,1)(n-1) +C(n,0) -n(n-1) -1 =(...)(n-1)^2
[(1+1/n)·(1+1/n)·……·(1+1/n)·1]^[1/(n+1)]
如图
n^n≥(n+1)^(n-1)，当n=1时，左边=1，右边=1，上式成立；当n=2时，左边=4，右边=3，上式成立；设当n=k时，上式成立，k^k≥(k+1)^(k-1)，两边取对数得：klogk≥(k-1)log(k+1)，log(k+1)+klogk≥klog(k+1)，klog(k+1)+log(k+1)≥2klog(k+1)-klogk，左边=(k...
^(k+1)，因此在n=k+1时不等式也成立。所以n>=2时，不等式成立。所谓的数学归纳法，就是先证明n=某个自然数a(或者整数a？）时成立。然后假设n=整数k，k>=a时命题成立，再利用n=k的时候成立的命题证明n=k+1时命题也成立，就可以推理出对所有n>=a，n为自然数（或整数），命题都成立。
老生常谈了:具体推导请参考:为何 (n!)² 比 nⁿ 更大？
要证明对于任意正整数 n（n ≥ 2），n 的 n 次方根的极限为 1，我们可以使用数列极限的定义和数学归纳法来进行证明。步骤如下：第一步：设定要证明的数列。我们可以定义一个数列 an = n^(1/n)，其中 n 是一个自然数。第二步：证明数列 an 是递减的。我们可以观察到，当 n 增大时，分子 ...