蒙特卡洛积分,并不是指一种名叫蒙特卡洛的积分,而是采用蒙特卡洛法来估计积分。蒙特卡洛是一类算法的统称,估计积分只是其中的一个应用,而积分计算在图形渲染起到非常重要的作用,本篇文章只介绍蒙特卡洛在积分估计上的应用。 如果你没有一定的概率论基础,我觉得本篇文章不适合你。“背景知识”部分会概述蒙特卡洛法用到的...
定积分从几何角度上的定义:我们知道,求解一个定积分等于函数图像在定义域与x轴围成的面积,即上图阴影部分面积。 黎曼积分角度:对于每极小\Delta x_{i}, 取\Delta x_{i}作底,f(\Delta x_{i})作高的极小长方形,面积为\Delta s_{i},则面积即定积分值是\sum\Delta s_{i} 蒙特卡洛积分:对于一个x_...
蒙特卡洛积分法的准确性与采样点的选取数目息息相关。 不同的函数有不同的概率密度函数(PDF)的选取方法。 例子: 假设对于一个积分,在其积分区域内进行均匀抽样,便可以得到对应的PDF。 带入蒙特卡洛积分公式便可以得到针对均匀抽样的蒙特卡洛积分计算公式: 路径追踪 Path tracing 与 光线追踪Ray tracing 之前的Ray trac...
蒙特卡罗法求面积（定积分）y = x²为例，我们需要求x在[0,10]相对应的y在[0,100]围成的曲线面积，除了使用原函数直接做差(1/3*10³-1/3*0³=1000/3)之外，我们可以使用一种将大量随机点散落到整个矩形，然后计算散落在围成曲线下的点的数量的占比就可以得出曲线面积了。曲线围成的面积=整个矩形...
代入E(X_n)的值可以得到蒙特卡洛积分。蒙特卡罗积分 这个表达式概括了蒙特卡洛积分的思想。下面是一个Python脚本，它可以对n = 1000的积分执行近似，一个简单的积分，它的值可以用幂法则计算，输出为：0.32913029558796897。这与积分的理论值很接近，n = 10000时，输出为：0.3305301067887705。为了理解蒙特卡洛积分的含义...
一、蒙特卡洛积分 Monte Carlo Integration 1.Why 蒙特卡洛积分方法是为了算那些计算起来比较困难的定积分(解析式很难写或者写不出),它提供了一种数值的方法可以直接算出值。 黎曼积分(Riemann Integral),也就是所说的正常积分、定积分。 2.What&How 举个简易的例子,我们可以在定义域内随意取一个样本,然后得到对应...
蒙特卡洛积分(下面简称 MC 积分)与上式的形式相同, 但 xᵢ 不再是依赖于下标 i 的数值, 而是符合 p 分布的随机数. 那么 MC 积分为 . 例子: , 积分区间为 , 使用两种分布展示 MC 积分的正确性: 均匀分布 和 正态分布(σ=0.5, μ=1.), 如下图所示 ...
蒙特卡洛积分法是一种基于随机样本来估算积分的方法。其基本思路是选取一组随机数(通常服从均匀分布),将这些数代入要求积分的函数中,并计算函数值总和,再将总和除以样本数量,得到积分的近似值。由于蒙特卡洛积分法具有极高的灵活性,且无需求解复杂的数学方程,因此被广泛应用于各个领域的数学积分求解。 二、原理 蒙特卡...
1 蒙特卡洛算法 1.1 基本思想 蒙特卡洛方法是在计算总体均值、总体方差、总体分位数等数字特征时,有时由于计算复杂性难以计算,于是采用样均值、样本方差、样本分位数来估计相应总体数字特征的一种方法。总的来说就是采用样本估计总体的一种统计方法。 1.2 蒙特卡洛积分 ...
蒙特卡洛积分通俗理解 蒙特卡洛积分是区别于黎曼积分的。 黎曼积分,可以找到一个导数函数,通过求原函数,下边界-上边界即得到积分面积。 如x2,原函数为1/3x3。 可有些不好表示成函数的积分怎么求?例如下图这个曲线,无法通过找原函数求面积。 蒙特卡洛积分的思想是,通过在区域内多次采样再求平均,得到近似的面积。