本文将介绍群与环的基本概念,并探讨它们的性质。 一、群的基本概念与性质 群是一种包含了代数运算的集合,它满足以下几个条件: 1.封闭性:对于群中的任意两个元素,它们的运算结果仍然在群中。 2.结合律:群中的代数运算满足结合律,即对于群元素a、b和c,(a•b)•c = a•(b•c)。 3.单位元:群中...
子群与真子群:H是群G的非空子集,并且H关于G中的运算构成群,H是G的子群。 平凡子群:群G的全集和{e},叫做群G的平凡子群 群中心:把群G中满足交换律的元素拿出来组成的子群C,称为G的中心。 循环群:群G在一个元素a,使得ak等于G中所有的元素(k∈Z),a为生成元。 二.环 环的定义 满足以下公理的集合R称...
离散数学第10章群与环第十章 群与环 10.1 群的定义与性质 * 半群、独异点与群的定义 定义10.1 设V=<S, ∘ >是代数系统,∘为二元运算,如果∘运算是可结合的,则称V为半群. 设V=<S,∘>是半群,若e∈S是关于∘运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=<S,...
群、环、域和向量空间是四款代数结构，这些结构的基础构件都是集合，就是首先得有一帮子东西(元素)凑...
离散数学是研究离散对象(如集合、图、树等)的数学分支,其中群、环和域是三个非常重要的概念。下面我们将分别介绍它们的定义和性质。 群 群是一个具有二元运算(通常称为乘法)的非空集合G,且满足封闭性、结合性和存在单位元(幺元)的性质。群中的元素可以取任何形式,如数字、矩阵、置换等。封闭性意味着群中任意两...
指由若干个元素所组成的集合,一个群的元素叫做群的“成员”。凡是一个群中每个元素都属于某个集合,这个集合叫做这个群的“基础集合”。相对地,如果不是一个集合,而是一个集合的所有元素的集合,则称为这个集合的“非基础集合”。 近世代数群和环是什么关系呢?有人说近世代数群就是环。那么,二者之间究竟有哪些...
四、环与域 在集合上定义的运算个数可以是一个,也可以是多个。例如整数集上的可以定义加法、减法、乘法及取模。群定义仅包含定义在集合上的一个二元运算,本节拓展运算个数。集合上定义连个二元运算,并让两个运算之间满足一定的性质。 设是一个代数系统,和是二元运算,如果满足:<A,+,∗>是一个代数系统,+和...
唯一加法单位元:环的加法单位元是唯一的。 乘法分配性:环的乘法对加法满足分配律。 交换律:对于环中的任意元素a和b,都有a*b=b*a。 环还有许多重要的定理和结论,如唯一乘法单位元、素环、主理想环等。这些定理和结论对于环的研究具有重要意义,并在数学的许多领域中发挥着重要作用。 三、群与环的应用 群与环...
Abel群(Abel−Group): 满足任意群中元素ab=ba的群 Abel群的子群都为正规子群 环(Ring): 一个群再加一种运算法则,即: (S,+,×,1)(这里的1是对乘法的单位元) 环有下列公理: 环的+法则可交换,即(S,+)是一个Abel群 环的x法则可交换结合,单位元为1 ...
2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上,添加一种二元运算·(虽叫乘法,但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·),需要满足环公理(ring axioms),如(Z,+, ⋅)。环公理如下: ①(R, +)是交换群 封闭性:a + b is another element in the set ...