W可以解释为从t1到t2时间内,质点在外力的作用下移动了一段距离,在这段距离上力所做的总功: 这种方式将无法计算的向量积分变成了可计算的非向量积分。 向量场中的线积分 已知外力和外力作用下的运动轨迹,力场F= -yi+ xj,运动轨迹C:x = t, y = t2, 0 ≤ t ≤ 1,计算力在该轨迹上做的功。 在这里,F...
在上例中, 我们发现对于给定的矢量场, 即使路径不同,当起点和终点相同时, 线积分的结果也相同(虽然我们只计算了两条路径, 但这个结论是正确的). 具有这样性质的矢量场叫做保守场,并总存在一个势能函数. 1. 注意这里的t不一定代表时间,可以是任意参数,甚至可以是x,y,z中的一个. ...
即使是整个圆也非常简单,前面的操作依旧如此,只不过最后的积分上下限改成 \int_0^{2\pi} 罢了。这样得到的结果就是 0 ,非常符合预期。当然,现在只是刚开始对公式 \text{d}s(\text{d}S)=\frac{|\nabla f|}{|\nabla f·\hat p|}\text{d}A 的解读而已,虽然上面举的是第一类线积分的例子,但是这个...
有一个例子除外，导致线积分与路径无关，并且这是矢量场F为保守场的情况下，请记住这就意味着矢量场可以写为某些函数的梯度 这是因为梯度向量的线积分具有特殊形式，它等于终点减去起点，该表达式称为线积分的基本定理
如果一个矢量场沿任何闭合曲线的线积分为0,则称这个矢量场是保守场(conservative field)。 2 面积分 矢量通过面S的面积分定义为 其中为垂直于面元dS的单位矢量。 设面上的点的位置矢量为,其中v,w为表示曲面的两个参数。容易得 由此可以化二重积分为累次积分。
计算空间线积分 和平面向量场的线积分一样,要用某个单变量参数转换x,y,z,最终使空间线积分转换成普通的一元积分。 示例1: F= <yz, xz, xy>,运动轨迹C:x = t3, y = t2, z = t, 0 ≤ t ≤ 1,计算C的线积分。 先根据C的参数化计算dx,dy,dz: ...
1. 向量形式的线积分： 在向量形式中，线积分涉及一个向量场f，该向量场可以被分解为两个分量：沿x轴正向的分量P和沿y轴正向的分量Q。 这两个分量分别乘以对应的单位向量i和j，形成向量f = Pi + Qj。 向量形式的线积分可以理解为沿着特定路径对这些分量进行积分的过程。2. 标量形式的线积分： ...
James Stewart《微积分》16.2节线积分笔记要点如下：线积分的定义与理解：线积分是沿着一条曲线计算函数值与路径长度的乘积的积分。公式表示为*∫f dr*或*∫ f ds*，其中*f*是定义在曲线*C*上的连续函数，*ds*表示曲线上的微小弧长。线积分不仅度量了长度，还反映了函数在路径上的累积影响。线积分...
若曲线C 上对连续函数 f(x,y,z)可用下面方式来计算线积分:第一步: 找出曲线 C 的参数表达式:r(t)=g(t)i+ h(t)j+ k(t)k, a<=t<=b第二步: 计算积分式子: 如果f 取值为常数 1, 那么 f 沿 C 的线积分就是计算曲线 C 的长度.
上述线积分是关于弧长的线积分. 沿曲线 C 关于x 和y 的线积分分别定义如下: \int_C f\left( x,y \right)\text{ }dx=\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f\left( x_i^*,y_i^* \right)}\Delta x_i}, \int_C f\left( x,y \right)\text{ }dy=\lim_{n \rightarrow ...