泛函: 从向量空间到标量域的映射 线性泛函: 定义域落在向量空间 X 里,值域落在标量域 K 上的线性算子 有界线性泛函: 定义域落在赋范空间 X 中,值域落在标量域 K 上的有界线性算子 因此,对于所有的 x∈D(f) , 存在正常数 c, 使得 |f(x)|≤c||x|| 有界线性泛函的范数: ||f||=supx∈X,||x...
一、线性泛函空间 【定义:线性泛函】X 为线性空间,f:X→K为线性算子,则称 f 为 X 上的线性泛函。 【定义:对偶空间】若 X 为线性空间,把 X 上所有线性泛函的全体记为 X*,称为 X 的代数对偶空间;若 X 为赋范空间,把 X 上所有有界线性泛函的全体记为 X',成为 X 的拓扑对偶空间,简称对偶空间/共轭空...
2.4线性算子与线性泛函(上)是【泛函分析】泛函分析期末考试速成课,不挂科!!#高数帮的第9集视频,该合集共计12集,视频收藏或关注UP主,及时了解更多相关视频内容。
1.3线性泛函数的表示 线性泛函数可以用矩阵来表示。设V和W分别是n维和m维向量空间,选择它们的一组基{e1,e2,...,en}和{f1,f2,...,fm},则对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V,有其在基{e1,e2,...,en}下的表达式为x=x1e1+x2e2+...+xnen,而对于任意的向量y=(y1,y2,...,ym)∈W,有其...
线性泛函是线性代数和泛函分析中的一个重要概念，它的几何意义主要体现在以下几个方面：线性映射：线性泛函可以被看作是从一个向量空间到实数或复数的线性映射。这种映射保持了向量空间的线性结构，即对于任意的向量a, b和标量c，都有f(ca + b) = cf(a) + f(b)。这种线性性质使得线性泛函在几何...
以下是线性泛函连续的充要条件：有界性条件：线性泛函连续的一个必要条件是它是有界的。这意味着存在一个常数M，使得对于所有定义域内的向量x，泛函的绝对值不超过这个常数与向量的范数的乘积。用数学语言表达为：存在一个常数M > 0，使得对于所有的x ∈ X，有 |T(x)| ≤ M||x||，其中T是线性...
有界线性泛函的定义域对其性质有重要影响。等价命题有时涉及到函数的连续性特征。研究有界线性泛函能深化对线性空间的理解。某些等价命题专注于泛函的取值范围。有界线性泛函的等价性在数学分析中有重要地位。其等价命题可能依赖于空间的拓扑结构。对于有界线性泛函,等价命题的探索从未停止。 一些等价命题与空间的完备性相关...
根据Hahn-Banach分离性定理,存在连续线性泛函 g:X\to\mathbb{K} 使得g(a+U)\cap g(B)=\emptyset ,而 g(a+U)\equiv g(a)+g(U) 是g(a) 的开邻域,所以 g(a)\notin \bar B 。可以验证 g(B) 和\overline{g(B)} 也是绝对凸集,所以任意 b\in B 和任意满足 |k|\leqslant1 的k\in\...
设f 是欧式空间 \mathbb{R^3} 上的有界线性泛函。设 f(1,0,0)=a_1,f(0,1,0)=a_2,f(0,0,1)=a_3,则 \forall (c_1,c_2,c_3)\in\mathbb{R^3},f(c_1,c_2,c_3)=c_1a_1+c_2a_2+c_3a_3=(c_1,c_2,c_3)\cdot(a_1,a_2,a_3)。可见 (a_1,a_2,a_3) 实际上是...