Heine-Borel定理告诉我们Rn的子空间U紧的充要条件是U为有界闭集。
本文将会探讨常见的空间相对紧集的判别充要条件。 正文 一、定理 下面是相对紧集的判别充要条件: 定理1. 设 $(X, \|\cdot\|_{X})$ 与 $(Y, \|\cdot\|_{Y})$ 是 Banach 空间,$T:X\rightarrow Y$ 是线性算子,则以下条件等价: 1. $T(B_{X})$ 具有有限的子覆盖,其中$B_{X}$ 是 $X$ ...
空间相对紧集的判别定理指出,一个空间X是相对紧集的充要条件是X中的任意序列都有收敛子列。换句话说,如果一个空间中的任意序列都可以在该空间中找到收敛子列,那么这个空间就是相对紧集的。 这个定理的重要性在于它为我们提供了一种判断空间是否为相对紧集的方法。通过检查该空间中任意序列是否有收敛子列,我们可以很方...
【答案】：充分性：设A是准紧集，则A的任一点列均有子列收敛到X中某一点。若A是闭集，此极限点在A中，故A是紧的。必要性：若A是紧集，则对A中任一收敛列，必收敛到A中，此即A为闭集。
本文将做有益的尝试,讨论几种常见空间相对紧集判定的充要条件。一、相关定义引理介绍定义 1 [1] 若 A 为紧集则称为 A 相对紧集。定义 2 [1] 若集族( ) { } E x x O ∈ : , ε覆盖集合 A ,则称X E ⊆为 A 的ε网。定义 3 [1] 若0 > ∀ ε, X 中存在有限个元素构成 A的 ε ...
答案:证明详见解析 证:若E是紧集,即是有界闭集 (数学分析)CE,存在子列 n},使 x_(nk)-x.εE 只要证明其充分性 假设E无界,则任取E,必有 x2eE,d(x1,x2)1,假定已找到 ,2,,neE,满足条件:ij d(x_1,x_1)≥1 ,由于E无界,存在 x_(n+1)∈E, 使 d(x_(n+1),x_i)≥1,i=1,2⋯,n ...
列紧的充要条件是为一致有界的等度连续集. 这一结论有着十分重要的应用.本文通过对 c(x)空间中列紧集基本特征的分析研究,将 Arzela—Ascoli定理推广到C(X)空间,并给出了 c(x)空间中列紧集的一个充要条件. 1主要结果 设x是紧距离空间,c(x)为x上连续泛函的 ...
如果metric space是compact，则它是complete+totally bounded，所以是bounded。又由于是Hausdorff，所以是...
定理1.5.20为使R中的集F是紧集,充分必要条件是F是有界闭集 答案 证明设F是紧集此时{V(0,k)}k≥1是F的一个开覆盖,从而有k使V(0,k)}1≤k≤k仍是F的覆盖.此时FCV(0,ko),故F有界.其次设x∈F,则{d,)}是F的一个开覆盖.从而有k使{y:d(,y)}仍k≥11≤k≤ko是F的一个开覆盖这样,V(...