矩生成函数(Moment Generating Function, MGF)是用来寻找矩的函数的函数。随机变量实值函数 X 的MGF 定义为: ψX(t)=E(etX)=∫etxdF(x)=∫etxf(x)dx 其中t=0 表示一阶矩,t=1 表示二阶矩…… 它实际上是一个 Laplace 变换。 对于实变函数 x(t),其拉普拉斯变换是复变函数 X(s) (其
>mean(rcauchy(1000000))[1]0.006069028 这些生成函数在存在时会很有趣。也许使用特征函数是一个更好的主意。 生成函数 首先,让我们定义那些函数。 如果 足够小。 现在,如果我们使用泰勒展开式 和 如果我们看一下该函数在0点的导数的值,那么 可以为某些随机矢量在更高维度上定义一个矩生成函数 , 如果要导出给定...
矩生成函数是一种将随机变量地所有矩(即均值、方差、偏度等统计量)通过单一的函数来表达的数学工具。矩生成函数通常定义为: M_X(t)=mathbb Ee^ tX 这个公式地含义是,矩生成函数是随机变量X的期望值的指数生成形式,它不仅可以帮助我们求出随机变量的矩还能通过它轻松计算出许多有用的统计特性如均值、方差等。 3...
对于指数分布,其矩生成函数可以通过以下步骤推导:写出期望表达式: $M_X(t) = E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x;\lambda) , dx$利用概率密度函数的定义域: 由于$f(x;\lambda)$ 在 $x < 0$ 时为0,所以积分区间可以简化为 $[0, +\infty)$:$M_X(t) = \int_{0}^{...
矩生成函数的一面是幂级数,我们已经说了很多。矩生成函数的另一面,是它的指数函数的解析形式。即 $$M(t) = E[e^{tX}]= \int_{- \infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx$$ 在我们获知了f(x)的具体形式之后,我们可以利用该积分获得矩生成函数,然后求得各阶的矩。当然,你也可以通过矩的定义来求矩。但许...
矩生成函数是一种用于描述随机变量的数学工具,它可以通过求解随机变量的各阶矩来描述该随机变量的特性。对于伯努利分布来说,其矩生成函数可以表示为: M(t) = E(e^(tX)) = p*e^t + (1-p),其中E表示期望值。 通过求解矩生成函数,我们可以得到伯努利分布的各阶矩。首先,我们来计算一阶矩(均值): M'(t...
引理3:(伽马函数无穷乘积形式) \begin{align} \Gamma(x)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^nt^{x-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^ndt\\[2ex] &=n^x\int_0^1(1-t)^nt^{x-1}dt\\[2ex] &=\frac{n^x}{x}\int_0^1(1-t)^nd(t^x)\\[2ex] &=n^x\frac{n}{x}\int_0^...
比如,研究股市的波动,就可以利用正态分布和矩生成函数来预测未来的走势。这就像一个神秘的水晶球,让我们窥探未来的趋势。正态分布的特性也使得它在很多情况下能简化我们的计算过程,真的是为我们省时省力。 我们甚至可以用矩生成函数来推导出其他更复杂的分布。就像有了基础的厨艺,可以做出各种美味的菜肴。这种从简单...
高等概率论:矩生成函数与特征函数(5), 视频播放量 69、弹幕量 0、点赞数 2、投硬币枚数 1、收藏人数 1、转发人数 0, 视频作者 申非的读书鬼屋, 作者简介 专注于数学与哲学话题的催眠频道,相关视频:高等概率论:习题选讲(1),高等概率论:矩生成函数与特征函数(3),
泊松分布是一种离散概率分布，描述了在固定时间段或区域内发生的罕见事件的数量。其概率质量函数表示为f(k)=(λ^k)/(k!)e^(-λ)，其中k=0,1,2,...，∞。此分布的矩母函数Mx(t)定义为E[e^(tx)]，通过计算得出Mx(t)=∑e^(tk)f(k)=e^(-λ)∑[(λe^t)^k]/(k!)=e^[λ(e...