在数值求解超定方程组(4)时,雅可比矩阵 J(x0) 不是方阵,而是一个高矩阵,其逆没有定义,当然也就推导不出牛顿法。然而数学王子发现了一个看似不起眼的妙招,当雅可比矩阵是列满秩,即它的秩等于列的个数时,牛顿法可以再度推广到超定方程组:用矩阵的左逆代...
牛顿迭代法解动力学方程不收敛的原因可能有以下几点: 1.初始值选择不当:如果初始值选取不合适,可能导致迭代过程中出现发散,从而使求解结果不收敛。 2.方程自身的形态比较复杂:例如,包含非线性、非凸或间断的函数等,这些因素可能导致牛顿迭代法不收敛。 3.雅可比矩阵奇异(尤其是雅可比矩阵非对称的时候):这也会导致牛...
在数值求解超定方程组(4)时,雅可比矩阵 J(x0) 不是方阵,而是一个高矩阵,其逆没有定义,当然也就推导不出牛顿法。然而数学王子发现了一个看似不起眼的妙招,当雅可比矩阵是列满秩,即它的秩等于列的个数时,牛顿法可以再度推广到超定方程组:用矩阵的左逆代替传统逆矩阵就行了。 一个可逆矩阵A的逆矩阵A-1左...
由于雅可比矩阵在解点奇异，不存在逆矩阵。要想扩展牛顿法，可能的突破口就在矩阵求逆。信手拈来有个...
雅可比矩阵 Fjacobi=jacobian(F,[x,y]); tol=1; r=x0; R=[]; while tol>eps % 通过subs给F函数中的x和y附具体数值 Fx=subs(F,[x,y],r); %因为我们要数值解,所以变为double精度的数值解 Fx=double(Fx); %以矩阵的形式储存每一步的计算结果,因为r有两个值,所以对应的Fx也有两个值 %该矩阵...
1. 选择初始点[公式]，设定最大迭代次数N和精度要求[公式]，初始化误差[公式]；2. 计算当前解[公式]与导数[公式]，如果满足[公式]，则更新[公式]；3. 若雅可比矩阵[公式]非奇异，迭代结束；否则，更新[公式]和[公式]；4. 若误差[公式]达到精度要求，停止；否则，继续迭代；5. 每次迭代未达...
而奇异解可能是孤立的重根,但更常见的情形是方程组的解是个高维流形,比如曲线和曲面,这些都属于所谓非孤立解。非孤立解在科学计算中十分常见。很多应用问题的关键就在奇异点上。回到牛顿-莱布尼茨微积分的基本思路,要求解非线性方程组 f(x) = 0 ,先把方程转换成线性逼近方程(4)。由于雅可比矩阵在解点奇异,不...
换句话说,解曲面的切空间就是雅可比矩阵的零空间。也可以说,通常的非孤立解虽然奇异,但还是恋恋不舍地保留了正则解的一个关键特性。我们不妨把这类奇异解先分离出来,称为半正则解。利用半正则性,就可以证明在半正则条件下降秩牛顿法(7)收敛到 ?由于一个偶然的发现,降秩迭代(7)再度推广牛顿法。从巴比伦法、...
牛顿(拉弗森)迭代是最常见的方法。但是对于形态非常复杂的非线性方程(组),牛顿迭代可能遇到不收敛的问题。造成牛顿迭代不收敛的常见原因有: 初始值远离方程(组)的解; 雅可比矩阵奇异(尤其是雅可比矩阵非对称的时候); 方程(组)自身的形态比较复杂; 牛顿迭代步的增量过大。 对于牛顿迭代的具体介绍以及其他求解非线性...
非孤立解在科学计算中十分常见。很多应用问题的关键就在奇异点上。回到牛顿-莱布尼茨微积分的基本思路,要求解非线性方程组 f(x) = 0 ,先把方程转换成线性逼近方程(4)。由于雅可比矩阵在解点奇异,不存在逆矩阵。要想扩展牛顿法,可能的突破口就在矩阵求逆。信手拈来有个广义逆矩阵。