两个正定矩阵的乘积不一定是正定矩阵。这一结论与矩阵乘法的性质及其对称性要求相关,需通过具体条件或反例验证。 一、对称性的关键作用 正定矩阵的定义通常默认包含对称性前提(尤其在实数域中)。若两个正定矩阵A和B相乘后得到的AB不对称,则直接排除其正定性。例如: 设A...
首先要限定是实矩阵, 否则例如A =i 00 i与其转置之积为负定矩阵.对实矩阵A, 可以证明A'A至少是半正定的.对任意实向量X, X'(A'A)X = (AX)'(AX) ≥ 0.而A'A正定当且仅当A可逆(此时A'A可逆半正定故正定).初等矩阵都是可逆矩阵, 其乘积仍可逆.故此时可以保证正定. 结果...
解析 首先要限定是实矩阵, 否则例如A =i 00 i与其转置之积为负定矩阵.对实矩阵A, 可以证明A'A至少是半正定的.对任意实向量X, X'(A'A)X = (AX)'(AX) ≥ 0.而A'A正定当且仅当A可逆(此时A'A可逆半正定故正定).初等矩阵都是可逆矩阵, 其乘积仍可逆.故此时可以保证正定. ...
可逆矩阵一定能分解成正交矩阵乘以正定矩阵 对于一个可逆矩阵A,我们有AAT=B2,B是正定的,现在我们要说明B乘上A转置的逆,是一个正交矩阵。 我们记U=B(AT)−1,UTU=A−1BTB(AT)−1,B是正定的,当然也是实对称的(不妨可以下去验证)。因此可以由此证得U与U的转置之积为单位阵,说明U就是正交的。
已知A 为n 阶矩阵,非齐次线性方程组 Ax=β 有唯一解,请证明矩阵 A⊤A 是正定矩阵。 难度评级: 二、解析 要证明一个矩阵是正定矩阵,一般情况下先证明其是对称矩阵: 由于: (A⊤A)⊤=A⊤(A⊤)⊤=A⊤A 因此可知,矩阵 A⊤A 是一个对称矩阵。 又因为非齐次线性方程组 Ax=β 有唯一解,于...
比如(10−210−1)的特征值都是正的；(1001000)是正定矩阵；它们的乘积的特征值并不全是正的.
答案 由A正定, A^T=A所以 (C^TAC)^T = C^TA^T(C^T)^T = C^TAC所以 C^TAC 是对称矩阵.对任意n维非零向量x由于C可逆所以 Cx≠0由A正定知 (Cx)^TA(Cx) >0即 x^T(C^TAC)x >0所以 C^TAC 正定.相关推荐 1设证明A是正定矩阵,C是可逆矩阵,证明:c的转置乘以 A乘以C是正定矩阵 反馈...
矩阵的转置是指将一个矩阵的行与列互换。正定性是一个矩阵的性质,表示其所有特征值均为正。 定理陈述 定理:如果 A 是一个实对称矩阵,那么 A^T A 总是一个正定矩阵。 证明 设A 是一个实对称矩阵,则 A^T = A。根据矩阵乘法的定义,我们有: ``` A^T A = A A ``` 由于A 是实对称矩阵,因此 A ...
. 试证: 如果是正定矩阵,那么和也都是正定矩阵 .证:因正定与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使.正定,则可逆,从而有,此式两边左乘以,右乘以,得,即, 则与合同. 故正
∀x∈Kn，x′A′Ax=(Ax)′(Ax)≥0，故为半正定矩阵。按定义证，x^t A^t Ax=(Ax)^ tAx。