解析 首先要限定是实矩阵, 否则例如A =i 00 i与其转置之积为负定矩阵.对实矩阵A, 可以证明A'A至少是半正定的.对任意实向量X, X'(A'A)X = (AX)'(AX) ≥ 0.而A'A正定当且仅当A可逆(此时A'A可逆半正定故正定).初等矩阵都是可逆矩阵, 其乘积仍可逆.故此时可以保证正定. ...
此时AB=BA半正定。如果AB≠BA，非对称矩阵谈不上正定、半正定。
（A^TA）^T=A^TA，即A^TA是对称矩阵。由于A可逆，可确定│A^TA│=│A│^2＞0 运用数学归纳法可得到：A^TA的顺序主子式都大于0，从而A^TA为正定矩阵。将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
不一定，反例A=[1.5,-1;-1,1]；B=[1,2;2,5];
矩阵A可逆,为什么A的转置矩阵乘以A为正定阵。即A^TA为正定 5老菜鸟 庶民 1 看着这个沉下去 A大秦帝国B 都御使 15 梦话? AEF332012306 知州 9 泽速浪0033 庶民 1 让这个世界因为有了我 而有一点点的不一样 而我的世界 不过就是你的心。我就是我 专业顶楼党。 zhxk0825 巡抚 12...
你好！可以直接利用正定的定义如图证明。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
可逆矩阵一定能分解成正交矩阵乘以正定矩阵 对于一个可逆矩阵A,我们有AAT=B2,B是正定的,现在我们要说明B乘上A转置的逆,是一个正交矩阵。 我们记U=B(AT)−1,UTU=A−1BTB(AT)−1,B是正定的,当然也是实对称的(不妨可以下去验证)。因此可以由此证得U与U的转置之积为单位阵,说明U就是正交的。
因为A可逆,所以齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 即对于 x≠0,必有 Ax≠0 所以 x^T (A^TA) x = (Ax)^T (Ax) > 0 故 A^TA 正定.注:这里A应该是实矩阵
所以C^TAC 是对称矩阵.对任意n维非零向量x由于C可逆所以Cx≠0由A正定知 (Cx)^TA(Cx) >0即x^T(C^TAC)x >0所以C^TAC 正定.本回答由网友推荐 举报| 答案纠错 | 评论 13 6 lry31383 采纳率:88% 来自团队:数学辅导团 擅长: 数学 学习帮助 理工学科 教育/科学 考研 ...