拓扑学家的正弦曲线是拓扑学中的一个经典反例,主要用于展示连通性、紧致性等概念的微妙差异。该曲线由函数( y = \sin(1/x) )在(
随着曲线f(x)震荡,所有在y轴上-1到1之间的点越来越接近曲线上的点,所以为了使拓扑学家的正弦曲线成为闭集,我们也在y轴上划分一个-1到1的线段,作为边界。这样不会破坏其他的拓扑性质——它依然连通但非道路连通——但是现在也封闭了。有些人喜欢玩这样玩儿。 如果你之前学过拓扑学,你可能看到过一条称做紧致...
我们要证明拓扑学家的正弦曲线不局部连通,只需要证明X中存在一点x,它的连通邻域构不成x的邻域基。事实上,只要我们证明点x存在一个邻域不包含x的连通邻域,那么根据邻域基的定义,x的所有连通邻域就构不成x的邻域基,也就证明了扑学家的正弦曲线不局部连通。这里选取了x=(0,0)以及它的一个邻域U={ (x,y) \...
正弦曲线是一个典型的由连续函数生成的复杂图形。正弦曲线是周期函数,它的形状会随着参数的变化而变化。 想象一下,当一个球被无限拉伸时,它可能会变成一个圆;而当一个圆被挤压时,它可能会变成一个椭圆。这些变化都是连续的,也即在拓扑学中,它们被认为是同胚的。正弦曲线也可以看作是这种连续变化的产物。 在数...
4.但定理2.47的逆命题不一定对,其反例正是经典的:拓扑学家的正弦曲线(例2.81) S=sin(1/x)在(0, 1]上的图像,S闭包是连通的,但却不是道路连通的。 前者因为S连通⇨S闭包连通 后者S闭包不道路连通,因为无法找到一个连续映射f(t)=(x(t), y(t))把[b, c]映到S闭包上。
称为拓扑学家的正弦曲线。因为X=B¯是闭集，且易证X⊂[0,1]×[−1,1]，所以它是紧的。
4.但定理2.47的逆命题不一定对,其反例正是经典的:拓扑学家的正弦曲线(例2.81) S=sin(1/x)在(0, 1]上的图像,S闭包是连通的,但却不是道路连通的。 前者因为S连通⇨S闭包连通 后者S闭包不道路连通,因为无法找到一个连续映射f(t)=(x(t), y(t))把[b, c]映到S闭包上。
随着曲线f(x)震荡,所有在y轴上-1到1之间的点越来越接近曲线上的点,所以为了使拓扑学家的正弦曲线成为闭集,我们也在y轴上划分一个-1到1的线段,作为边界。这样不会破坏其他的拓扑性质——它依然连通但非道路连通——但是现在也封闭了。有些人喜欢玩这样玩儿。
该学家的正弦曲线没有道路分支。在拓扑学中，道路连通性是一个重要的概念。指的是空间中任意两点之间存在一条可缩小的路径。换句话说，如果从一点到另一点可以通过连续的路径实现，那么这两个点被称为道路连通的。对于拓扑学家的正弦曲线，可以观察到是一个连续的曲线。然而，当人们尝试从曲线上的任意...
拓扑学家的正弦曲线 稿子一 嘿,亲爱的小伙伴们!今天咱们来聊聊那个神奇的“拓扑学家的正弦曲线”。 你们知道吗?这玩意儿可有意思啦!它就像一个藏着好多秘密的小迷宫。想象一下,一条弯弯扭扭的曲线,一会儿上,一会儿下,就像在跟我们捉迷藏。 它可不是普通的曲线哦!拓扑学家们看到它,就像发现了宝藏一样。它的...