定理:令F为K的有限扩张,E为F的有限扩张,那么E是K的有限扩张。而且我们有:[E:K]=[E:F][F:K]。 令K为F的子域,α∈F。如果不存在一个非零多项式f∈K[x]使得F(x)里f(α)=0,则称α为K上的代数。 如果一个扩张域里的每一个元素都是代数,则称这个扩张域是代数的。
同样地,扩域和域之间也可以建立双射。 11.1 扩域 扩域如果F 是域K 的子域,则称 K 是F 的扩域(field extension)或域的扩张,记作 K/F。 当域的扩张记作 K/F 时,指的还是域 K ,而不是两个域的商。显然, F 是F 的扩域。 素域不含真子域的域称为素域(prime field)。 即素域的真子集都不再...
对于域扩张中的n次代数元,其在K上生成的扩环就等价于其在K上生成的扩域。这是由于Bezout定理可知这个扩环上的多项式总有逆元。而且域扩张的一组基底就恰好是这个代数元的从0到n-1的幂次。 不仅如此,上述的扩环(扩域)和一个商环同构。这也很正常,因为最小多项式在K中不可约,而这个不可约多项式可以生产一...
设K/F是一域扩张,α∈K,若α是系数在F中的一个非零多项式的根,则称α在F上是代数的,或称α为F上的代数元(algebraic element),否则称α为超越的。在任一域扩张K/F中F上的代数元全体构成一个中间域,称为F在K上的代数闭包,K中任一不属于此代数闭包的元素在F上是超越的。
域扩张的例子1: Q⊂R 基域:有理数域 扩域:实数域 域扩张的例子2: R⊂C 基域:实数域 扩域:复数域 域扩张的例子3: Q⊂Q(√2) 基域:有理数域 扩域:Q中添加√2生成的扩域 域扩张——向量空间: 每个域扩张中, 扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间, ...
在域的扩张中，有一种重要的方法是通过不可约多项式来构造更大的域。在这种方法中，有限域的元素个数必须是其特征素数的方幂。我们可以通过证明两个引理来确保这种构造的严谨性：一方面，通过数学归纳法来证明有限交换群的性质；另一方面，有限域的元素个数必须为一个素数的方幂。有限域可以通过不可约多项式来构造...
1(第一个c是向量空间元素，第二个是数域的元素，1是基）。复数域C是实数域R的扩域，而R则是有理数域Q的扩域。这样，显然C/R也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：[C：R]=2。因为C可以看作是以{1，i}为基的实向量空间。故扩张C/R是有限扩张。C=R(i)，所以这个扩张是单扩张。
分裂域是研究域扩张中一个重要的概念。 数域同态(Homomorphism):数域间的同态是一种函数,它保持加法和乘法运算。如果同态是双射(既是单射又是满射),则称为同构。 嵌入(Embedding):嵌入是一种特殊的同态,它保留了数域的结构并将一个数域嵌入到另一个数域中。对于 -嵌入,这意味着嵌入将 数域的嵌入(Embedding of...
这种扩展域在复平面中很难可视化,因为有理数 Q和(Q根号2) 看起来与实数一样,即 x轴。因此我们可以这样来看它:比有理数域更大,但比实数域更小。 让我们看看伽罗瓦理论如何展示(Q根号2)的对称性。 多项式的伽罗瓦群是关于它的根的对称性的...