前言: 设R是幺环,若乘法构成群则为体,若构成Abel群则为域,因此域是特殊的环,之前我们证明了可以通过极大理想构造出域,而我们主要研究域扩张的性质,目标是研究Galois理论 6-1-1.[单扩张] 如果域扩张K/F可以…
定理:令F为K的有限扩张,E为F的有限扩张,那么E是K的有限扩张。而且我们有:[E:K]=[E:F][F:K]。 令K为F的子域,α∈F。如果不存在一个非零多项式f∈K[x]使得F(x)里f(α)=0,则称α为K上的代数。 如果一个扩张域里的每一个元素都是代数,则称这个扩张域是代数的。
对于域扩张中的n次代数元,其在K上生成的扩环就等价于其在K上生成的扩域。这是由于Bezout定理可知这个扩环上的多项式总有逆元。而且域扩张的一组基底就恰好是这个代数元的从0到n-1的幂次。 不仅如此,上述的扩环(扩域)和一个商环同构。这也很正常,因为最小多项式在K中不可约,而这个不可约多项式可以生产一...
一般地,如果一个有限扩张K/F可以插进一串中间域F=F₀⊂F₁⊂...⊂Fᵣ=K,且每一个Fᵢ₊₁/Fᵢ,i=0,1,...,r-1都是单根式扩张,则称K/F为根式扩张(radical extension),F=F₀⊂F₁⊂...⊂Fᵣ=K称为K/F的一个根式扩张链,或称根式塔(root tower)。 来给出多项式分裂...
域扩张的例子1: Q⊂R 基域:有理数域 扩域:实数域 域扩张的例子2: R⊂C 基域:实数域 扩域:复数域 域扩张的例子3: Q⊂Q(√2) 基域:有理数域 扩域:Q中添加√2生成的扩域 域扩张——向量空间: 每个域扩张中, 扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间, ...
这种扩展域在复平面中很难可视化,因为有理数 Q和(Q根号2) 看起来与实数一样,即 x轴。因此我们可以这样来看它:比有理数域更大,但比实数域更小。 让我们看看伽罗瓦理论如何展示(Q根号2)的对称性。 多项式的伽罗瓦群是关于它的根的对称性的...
1(第一个c是向量空间元素，第二个是数域的元素，1是基）。复数域C是实数域R的扩域，而R则是有理数域Q的扩域。这样，显然C/R也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：[C：R]=2。因为C可以看作是以{1，i}为基的实向量空间。故扩张C/R是有限扩张。C=R(i)，所以这个扩张是单扩张。
对于给定的域扩张L/K以及L的子集S，我们可以定义K(S)，它是L中包含K和S的最小子域，通过在K中添加S中的元素而形成。如果S只包含一个元素s，我们通常简化为K(s)，这样的扩张称为单扩张，而s被称为扩张的本原元。值得注意的是，当我们将L视为K上的矢量空间时，L中的元素被视为矢量，而K中的...
在域的扩张中，有一种重要的方法是通过不可约多项式来构造更大的域。在这种方法中，有限域的元素个数必须是其特征素数的方幂。我们可以通过证明两个引理来确保这种构造的严谨性：一方面，通过数学归纳法来证明有限交换群的性质；另一方面，有限域的元素个数必须为一个素数的方幂。有限域可以通过不可约多项式来构造...
具体而言,若E包含了F中的所有元素并且依然满足域的性质,则称E是F的一个扩张域。域扩张具有以下性质: 1.子扩张:如果E是F的扩张域,那么E的任意一个子集也可以成为F的扩张域。 2.代数元和超越元:扩张域E中的元素可以分为代数元和超越元两类。代数元是满足某个非零多项式方程的元素,而超越元不满足任何非零...