①微分方程形式 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} , (n\ne0,1) ②解法 微分方程两端除以 y^{n} y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 引入新的因变量 z=y^{1-n} \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) ...
设方程的右端f(x)=f1(x)+f2(x),而y1*(x)和y2*(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1}(x)和方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{2}(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解。 8、二阶常系数齐次线性微分方程 一般形式为y''+py'+qy=0,其中p,q为常数,用r^{k}代替y^{(k...
微分方程的阶数指的是方程中出现的最高阶导数。一阶微分方程相对简单，而高阶微分方程的求解则更为复杂。例如，二阶微分方程在物理学中常用于描述物体的振动问题。2.2 线性与非线性 线性微分方程的特点是未知函数及其导数的系数不依赖于未知函数本身，这使得它们具有许多良好的性质，如解的叠加原理。非线性微分方程则...
第一阶微分方程通常容易解决，例如描述放射性衰变或液体冷却的行为。另一方面，二阶微分方程则相对复杂，也经常出现在自然界中。例如，电动力学的麦克斯韦方程，量子力学的薛定谔方程，都是二阶微分方程。只有从二阶开始，微分方程才能描述振动。而只有从三阶开始，微分方程才能描述混沌。微分方程是线性的还是非线性的？...
微分方程是数学和物理科学中一个至关重要的领域，它提供了一种量化并预测系统如何随时间演变的方法。无论是在描述经济市场的波动，预测人口的增长，解析电磁场的变化，还是在分析物理系统的振动，微分方程都发挥着重要的作用。它们的重要性在于，它们能以数学形式表达出许多现实世界的动态现象，从而使我们能够对未来进行...
常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求...
首先求解特征方程r² + 2r + 1 = 0，得到特征根r = -1（重根）。然后猜测待定系数法的解形式为y(x) = Ae^x + Bxe^x，代入原方程得到A = 0，B = 1。最终得到y的解函数为y(x) = xe^x。二、偏微分方程 偏微分方程是涉及多个自变量的微分方程。它的解是一个函数或函数族，满足方程与给定的...
六、高阶线性微分方程 1.定理 1. 对二阶齐次线性微分方程 y''+P(x)y'+Q(x)y=0 ,若 y_1(x) 和y_2(x) 是方程的两个解,则 y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\\ 也是方程的解。 2. 若 y_1(x),y_2(x) 是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解,则 y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\...
首先，让我快速回顾一下这个微分方程的来源。设置一个质量为m的物体，放在无摩擦的桌子上，连接到一个刚度为K的弹簧。在平衡状态下，弹簧既不拉伸也不压缩，物体可以安静地停在那里，我们称之为x等于零的位置。但是，如果我们将物体从这个位置滑开，弹簧现在会施加一个力-Kx，试图将物体拉回到平衡位置。那么F=ma...