简单说，我们说如果对于拓扑空间X，只要以上四个命题有一个成立（从而所有的都成立），就说X是一个紧空间。因为这四个命题一般地并不完全等价，所以紧性的形式定义只采用第四个命题：若每一个开覆盖都有有限的子覆盖，就说X为紧空间（compact space）。紧性是空间的一个强有力的性质，它以多种方式用于数学的...
拓扑空间里开覆盖有其特定界定方式。开覆盖是由一系列开集所构成的集合。这些开集的并集需包含给定的拓扑空间子集。对于拓扑空间X ，开覆盖要满足特定条件。若有子集A属于X ，开覆盖与A密切相关。开覆盖中的每个元素都是拓扑空间里的开集。比如在实数轴这个拓扑空间有相关开覆盖例子。一个简单例子是一族开区间构成的...
正规开覆盖(normal open cover)一类开覆盖.若X为拓扑空间，o}是X的开覆盖.若存在X的开覆盖列{Gun使得oGl - oGh，并且对于任意自然数ZW}tI是哪的星加细，则称G}为X的正规开覆盖.空间X是正规空间的充分必要条件是，X的任意局部有限开覆盖是正规开覆盖.空间X的局部有限由补零集组成的覆盖是正规开覆盖.
与实数完备性相关的一些数学概念是高等数学中最抽象，最难理解的内容之一。比如无限开覆盖和有限开覆盖的定义，就曾经让老黄“丈二和尚摸不着脑袋”。经过潜心思考理解之后，终于懂得了一点皮毛，就迫不及待地想和大家分享一下。无限(有限)开覆盖的定义是这样的：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一...
两者的定义如下：1、开覆盖是指对于一个集合S，存在一系列开区间的集合H，使得S中的每个点都至少属于H中的一个开区间。开覆盖是一组开区间，它们的并集包含了集合S。2、闭覆盖是指对于一个集合S，存在一系列闭区间的集合H，使得S包含于H中的每个闭区间内。闭覆盖是一组闭区间，它们的并集包含了...
解析 证明:设是的任一开覆盖. 任取中的点,必有某,使得.存在有理开区间,使得. (*)就得到的有理开区间族覆盖(称为的加细开覆盖),其中对某个满足(*)式. 因为有理开区间的全体是可数集,所以作为集合来看是至多可数集,记为. 则,对,取满足(*)式的相应记为,这时是至多可数个且覆盖. ...
对于闭区间套定理，只要证明区间左端点序列是基本序列即可对于有限开覆盖定理，用反证法加二分法，构造一列闭区间套，使得其中的每个都不能被有限开覆盖，然后证明区间的左左端点序列是基本序列，再取一个开区间覆盖其极限即可得矛盾应该也可以，例如[2,3]可用一系列开集(2-1/n,3+1/n)覆盖,则可以找到...
因为“区域”本身在数学上被定义为点集，所以有开集、闭集之说，如果我们找到的那堆用来覆盖A的区域全都是开集，就说这个覆盖是“开覆盖”。如果能找到有限个区域把A覆盖，就说这有限个区域是A的一个“有限覆盖”。这种情况是存在的，因为如果A比较简单，比如就是一个正方形，那就找一个大正方形就能...
需要特别注意的是，定理中的原区间是一个闭区间，如果是开区间就不一定成立了。比如，开区间集H={(1/(n+1),1)}(n=1,2,…)构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从H中选出有限个开区间盖住(0,1).在《老黄学高数》第220讲中，老黄已经证明过H是(0,1)的一个开覆盖。但却不能从H中选出有限...