承上,本文介绍度量空间之间映射和单值对应的一致连续性,函数列的逐点收敛和一致收敛;作为收尾,介绍度量空间的完备化操作。 一致连续与收敛 柯西序列 定义8.1.1.设(X,d) 为度量空间,Y⊂X,记 diam(Y)=sup(x,y)∈Y2d(x,y),称作 Y 的直径,并规定 diam(∅)=0。如果 diam(Y)<+∞ 则称A
今天在看Peter D.Lax的Functional Analysis时,书中提到了一般度量空间的完备化,那里是将这个结论当成已知事实来处理的。因为我在学习Munkres的拓扑学时,只仔细看了正文的完备化证明,而忽视了习题中的完备化证明,恰巧的是Lax提到的完备化是习题中讲解的,为弥补当时的疏忽,特地将其记录下来。
度量空间的完备化是指对于一个给定的度量空间,通过添加一些额外的元素,将这个度量空间补充成为一个完备的空间。这个过程可以看作是对原先存在的空缺进行填补,使得原先不完备的空间变得完全连续。完备化后的度量空间中的每个序列都可以找到极限,从而完美地反映了度量空间中的元素之间的距离和相对关系。 度量空间的完备化的...
在实际问题中,我们常常需要考虑一些不完备的度量空间,即存在一些收敛序列却不收敛于该空间中的点。为了解决这一问题,数学家们引入了完备化的概念,通过对不完备度量空间进行扩展,构造出一个完备的度量空间,使得原空间中的收敛序列在完备化空间中也能收敛。本文将介绍度量空间的完备化的概念、构造方法以及完备化空间的...
第五节度量空间旳完备化教学目旳1.掌握等距同构和等距同构映射旳定义2.了解度量空间旳完备化定理教学要点和难点怎样把一种不完备旳度量空间加以“扩大”,即成为某个完备度量空间旳稠密子空间。 定义1设是两个度量空间,假如存在到上旳保距映射,即,则称和等距同构,此时称为到上旳等距同构映射。在泛函分析中往往把...
1.内积空间⊂赋范空间⊂线性空间⊂度量空间⊂拓扑空间。 2.由‖fn-g‖∞=max|fn(x)-g(x)|=sup|fn(x)-g(x)|,可见L∞度量主要用来定义函数列一致收敛。(下节课会用到) 二、空间的完备化 1.Dedekind分割、确界原理、单调有界定理、闭区间套定理依赖序关系,无法推广。
定义 (X,ρ) 是度量空间, (X~,ρ~) 称为(X,ρ) 的完备化空间,如果: (1) (X~,ρ~) 是完备的; (2) ∃X~ 中的子空间 W 与X 等距同构; (3) W 在X~ 中稠密. 定理(完备化) 每一个度量空间 (X,ρ) 都存在唯一的完备化空间 (X~,ρ~) . ...
一、度量空间的完备化的定义 在介绍度量空间的完备化之前,我们先来回顾一下度量空间的定义。设X是一个非空集合,d是X上的一个度量函数,即对于任意的x, y, z∈X,满足以下条件: 1. 非负性:d(x, y) ≥ 0,且当且仅当x = y时,d(x, y) = 0; 2. 对称性:d(x, y) = d(y, x); 3. 三角不...
接下来,让我们一起深入探讨度量空间的完备化。 什么是完备化 在数学中,完备化是指将一个度量空间扩展为一个完备的度量空间的过程。具体而言,对于一个度量空间中的某个序列,如果该序列在原度量空间中不收敛于任何点,我们可以通过引入新的点,使得该序列在扩展后的完备度量空间中收敛于这些新的点。这样,原本不完备...
定理(度量空间的完备化) 设(E,d)是一度量空间,则存在等距意义下唯一的完备度量空间(E^,d^),满足(1)E⊆E^(2)d^|E=d(3)E在E^中稠密Proof::Step 1:构造(E^,d^)记E~为E中所有列Cauchy列所构成的集合,在E~上定义等价关系∼:(xn),(yn)∈E~,(xn)∼(yn)当且仅当limn...