这表示原始的度量空间 M是其完备化\bar{M}的一个子集。在实际操作中，这意味着我们在\bar{M}中保留...
度量空间的完备化定理 度量空间的完备化定理,听起来有点高大上,对吧?这个概念就像是一个人在拼图,拼图中缺少了几块,但我们知道,拼图的完整性是多么重要。想象一下,你在玩一个拼图,突然发现有一块卡在沙发缝里了。哎呀,心里那个急啊!完备化定理就是解决这种心急如焚的感觉的。简单来说,它帮助我们在不完美的...
每一个度量空间X，实际上都可以视为另一个完备度量空间的密集部分，且这种转化是唯一的，这为理解度量空间的性质提供了关键视角。例如，实数集在数学分析的早期发展阶段，被揭示为有理数集的完备化，这一发现对于构建严谨的数学分析理论具有里程碑式的意义。进一步的理论研究证实，如果在完备度量空间中，存...
唯一性证明利用好X稠密及完备性即可
定理. (Banach不动点定理):设(X,d)为非空完备度量空间,T:X→X为压缩映射,即存在常数0≤η<1使得对于任意的x,y∈X都有 d(Tx,Ty)≤ηd(x,y), 则T存在唯一不动点。 Proof: 先证存在性。任取x0∈X,构造序列{xi}i=1∞如下, x1=Tx0,x2=T2x0,⋯. ...