定理(度量空间的完备化) 设(E,d)是一度量空间,则存在等距意义下唯一的完备度量空间(E^,d^),满足(1)E⊆E^(2)d^|E=d(3)E在E^中稠密Proof::Step 1:构造(E^,d^)记E~为E中所有列Cauchy列所构成的集合,在E~上定义等价关系∼:(xn),(yn)∈E~,(xn)∼(yn)当且仅当limn...
引言 完备度量空间的定义 完备度量空间的几种判别方法 完备化定理 总结 引言 今天在看Peter D.Lax的Functional Analysis时,书中提到了一般度量空间的完备化,那里是将这个结论当成已知事实来处理的。因为我在学习Munkres的拓扑学时,只仔细看了正文的完备化证明,而忽视了习题中的完备化证明,恰巧的是Lax提到的完备化是习...
在数学中,完备化是指将一个度量空间扩展为一个完备的度量空间的过程。具体而言,对于一个度量空间中的某个序列,如果该序列在原度量空间中不收敛于任何点,我们可以通过引入新的点,使得该序列在扩展后的完备度量空间中收敛于这些新的点。这样,原本不完备的度量空间就得到了补充,使得所有序列都能够在空间中找到极限。
在实际问题中,我们常常需要考虑一些不完备的度量空间,即存在一些收敛序列却不收敛于该空间中的点。为了解决这一问题,数学家们引入了完备化的概念,通过对不完备度量空间进行扩展,构造出一个完备的度量空间,使得原空间中的收敛序列在完备化空间中也能收敛。本文将介绍度量空间的完备化的概念、构造方法以及完备化空间的...
在度量空间中,我们可以讨论收敛性、连续性等概念。然而,并不是所有的度量空间都是完备的,即存在一些序列在该空间中无法收敛。为了解决这个问题,数学家们引入了完备化的概念,通过在原度量空间中添加一些额外的元素,使得原空间变得完备。本文将介绍度量空间的完备化的概念、性质以及一些例子。 一、度量空间的完备化的...
完备化的概念及方法 度量空间的完备化就是通过添加新的元素或序列,使得原本不完备的度量空间变得完备。最常见的完备化方法是将不完备的度量空间嵌入到一个完备的度量空间中。在新的完备空间中,原本不收敛的序列可以得到极限,从而让我们能够更方便地进行分析和推论。 实际应用与意义 完备化不仅仅是数学理论上的概念,它...
定理1（度量空间旳完备化定理）设X(X,d)是度量空间，那么 一定存在一完备度量空间，X(X,d)使X与XW旳某个稠密子空间 等距同构，而且X在等距同构意义下是唯一旳，即若(X,d)也是一完备旳 X度量空间，且与X旳某个稠密子空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。证明我们提成四步来证明 （1）构造X(X,d...
度量空间的完备化定理 度量空间的完备化定理,听起来有点高大上,对吧?这个概念就像是一个人在拼图,拼图中缺少了几块,但我们知道,拼图的完整性是多么重要。想象一下,你在玩一个拼图,突然发现有一块卡在沙发缝里了。哎呀,心里那个急啊!完备化定理就是解决这种心急如焚的感觉的。简单来说,它帮助我们在不完美的...
1.内积空间⊂赋范空间⊂线性空间⊂度量空间⊂拓扑空间。 2.由‖fn-g‖∞=max|fn(x)-g(x)|=sup|fn(x)-g(x)|,可见L∞度量主要用来定义函数列一致收敛。(下节课会用到) 二、空间的完备化 1.Dedekind分割、确界原理、单调有界定理、闭区间套定理依赖序关系,无法推广。
度量空间的完备化 第五节度量空间的完备化 教学目标 1.掌握等距同构和等距同构映射的定义2.了解度量空间的完备化定理 教学重点和难点 如何把一个不完备的度量空间加以“扩大”，即成为某个完备度量空间的稠密子空间。教学过程 我们曾指出直线上有理数全体Q作为R的子空间不是完备的度量空间，Q但是我们可以将Q“扩大...