如果F是域K的子域,则称K是F的扩域(field extension)或域的扩张,记作K/F。 当域的扩张记作K/F时,指的还是域K,而不是两个域的商。显然,F是F的扩域。 素域 不含真子域的域称为素域(prime field)。 即素域的真子集都不再是域。对于一个域F,考虑它的所有包含单位元1的子域的交集,该交集仍然是子域...
一个只有有限个元素的域我们称为有限域。 Definition:extension of a field 对于一个域F,如果存在一个域K使得F⊂K,则称K是F的一个域的扩张。 Definition:algebraic number,transcendental number 对于一个域F,设K是它的一个扩张,如果对于K里的元素α,存在非零f(x)∈F[x],使得f(α)=0,则称α为F上的...
对于域扩张中的n次代数元,其在K上生成的扩环就等价于其在K上生成的扩域。这是由于Bezout定理可知这个扩环上的多项式总有逆元。而且域扩张的一组基底就恰好是这个代数元的从0到n-1的幂次。 不仅如此,上述的扩环(扩域)和一个商环同构。这也很正常,因为最小多项式在K中不可约,而这个不可约多项式可以生产一...
因为人们发现在实数域中,“一个数的平方等于-1”没有解,由此定义了虚数,这事实上就是一种域扩张。准确地说,这是一种代数扩张。代数扩张的本意就是把原来的域上的多项式的根也囊括进来,由此得到一个域扩张。利用这种方式,我们将实数域进行代数扩张,得到了复数域。那么复数域还能进行代数扩张吗?答案是不能,因为...
定义:若R是一个环,并且R∗=R∖{0}对于乘法构成一个交换群,则称R为一个域。 定义:交换除环叫作域。 定理:域一定是整环。 定理:有限整环一定是域。 定义:只包含有限个元素的域称为有限域,其元素个数称为该域的阶。有限域又叫作伽罗瓦域(Galois field)。
数域扩张(Field Extension):当一个较小的数域(如有理数域 )被扩展到一个更大的数域时(如复数域 ),这个过程称为数域扩张。扩张后的数域包含原数域的所有元素,并添加新的元素。 嵌入(Embedding):在数学中,一个数域到另一个数域的嵌入是一种保持加法和乘法结构的映射。 分裂域(Splitting Field):一个多项式...
在域的扩张中，有一种重要的方法是通过不可约多项式来构造更大的域。在这种方法中，有限域的元素个数必须是其特征素数的方幂。我们可以通过证明两个引理来确保这种构造的严谨性：一方面，通过数学归纳法来证明有限交换群的性质；另一方面，有限域的元素个数必须为一个素数的方幂。有限域可以通过不可约多项式来构造...
【抽象代数】08-域的扩张 1. 素域和单扩域 1.1 素域 域是⼀种⽐较“完整”的结构，它的限制条件⽐较多，结构⾃然也就不是很多样。现在我们来初步研究⼀下域的结构，研究的⽅法当然是从⼩域向⼤域扩展，若F是E的⼦域，E也叫F的扩域或扩张。扩张当然要从最简单的域开始，我们⽐较...
4-有限域-代数基础-域扩张 FieldExtensions 子域（subfield）设 F是域,K是F的子集,若K关于F的运算构成域,则K 称为F的子域,F称为K的扩域. 若K是F的子域,则1K=1F子域的交仍是子域素域素域同构于Fp或Q 1 FieldExtensions 向量空间(vectorspace)设K是域,A是加法交换群,...