同样地,扩域和域之间也可以建立双射。 11.1 扩域 扩域如果F 是域K 的子域,则称 K 是F 的扩域(field extension)或域的扩张,记作 K/F。 当域的扩张记作 K/F 时,指的还是域 K ,而不是两个域的商。显然, F 是F 的扩域。 素域不含真子域的域称为素域(prime field)。 即素域的真子集都不再...
定义1.1.2 设\Omega|F 为域扩张, (E_i|F)_{i\in I} 为一族子扩张,定义其复合 \bigvee_{i\in I}E_i 为\Omega 中包含所有 E_i 的最小域,其元素形如有理分式 \frac{P(x_{i_1},···,x_{i_k})}{Q(x_{i_1},···,x_{i_k})},Q(x_{i_1},···,x_{i_k})\ne0,(...
设(K,+,⋅)是域,F是K的非空子集,且,,,(F,+,·)也是域,则称F是K的子域(subfield),K是F的扩域(extensionfield),记作F≤K。 设S是域F中的一个非空子集,则包含S的最小子域,称为由S生成的子域,记作(S)。由元素1生成的子域称为素域(prime field). 一个域被称为素域,如果它不含有真子域。 ...
这种扩展域在复平面中很难可视化,因为有理数 Q和(Q根号2) 看起来与实数一样,即 x轴。因此我们可以这样来看它:比有理数域更大,但比实数域更小。 让我们看看伽罗瓦理论如何展示(Q根号2)的对称性。 多项式的伽罗瓦群是关于它的根的对称性的...
设K/F是一域扩张,α∈K,若α是系数在F中的一个非零多项式的根,则称α在F上是代数的,或称α为F上的代数元(algebraic element),否则称α为超越的。在任一域扩张K/F中F上的代数元全体构成一个中间域,称为F在K上的代数闭包,K中任一不属于此代数闭包的元素在F上是超越的。
对于域扩张中的n次代数元,其在K上生成的扩环就等价于其在K上生成的扩域。这是由于Bezout定理可知这个扩环上的多项式总有逆元。而且域扩张的一组基底就恰好是这个代数元的从0到n-1的幂次。 不仅如此,上述的扩环(扩域)和一个商环同构。这也很正常,因为最小多项式在K中不可约,而这个不可约多项式可以生产一...
我们把E叫做F的一个扩张。 域扩张符号表示: E作为F的一个扩张时, 可表示为: F⊂E E/F E:F 基域——扩域: 如果F⊂E F称为域扩张的基域, E称为F的扩域 域扩张的例子1: Q⊂R 基域:有理数域 扩域:实数域 域扩张的例子2: R⊂C ...
域扩张是指将一个域F中的元素嵌入到另一个域E中,使得E成为域F的扩张。具体而言,若E包含了F中的所有元素并且依然满足域的性质,则称E是F的一个扩张域。域扩张具有以下性质: 1.子扩张:如果E是F的扩张域,那么E的任意一个子集也可以成为F的扩张域。 2.代数元和超越元:扩张域E中的元素可以分为代数元和超越...
1(第一个c是向量空间元素，第二个是数域的元素，1是基）。复数域C是实数域R的扩域，而R则是有理数域Q的扩域。这样，显然C/R也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：[C：R]=2。因为C可以看作是以{1，i}为基的实向量空间。故扩张C/R是有限扩张。C=R(i)，所以这个扩张是单扩张。