域K上的多项式分裂域 是K的扩展域，其中p因子成为线性因子。对于每个i我们有 其中 不一定是不同的，并且使得根 在K上产生L。扩展域L是在K上的最小维度的扩展，其中p分裂。 可以看出，这样的分裂域存在并且是同构的。 这种同构的自由度被称为p的伽罗瓦群（如果我们假设它是可分离的）。事实 作为K上的一...
在《有限域的结构 (2): 不可约多项式的根》[1]中, 我们已经讨论了 Fq 上的不可约多项式的基本性质. 定理3.20. 对有限域 Fq 与正整数 n , ∏degf∣nf(x)=xqn−x, 其中 f 取遍Fq 上的次数整除 n 的首一不可约多项式. 证明. 由引理 2.13[1], g(x)=xqn−x 的分解式中的首一不可...
多项式的乘法生成元,含有一次多项式, x + a。由它可以生成任意次数的多项式,f(x)。 但是,就像整数乘法一样,还有很多素多项式,无法由一次多项式生成。 比如, x2+ x+1。素多项式是不可约多项式。这是针对于某个数域 F 的结论,根据代数基 本定理,扩域到代数域,必然可以将素多项式分解为一次多项式相乘。所以可...
1. 定义有限域多项式的类 我们首先需要定义一个表示有限域多项式的类,比如FiniteFieldPolynomial。 AI检测代码解析 classFiniteFieldPolynomial:def__init__(self,coefficients,prime):""" 初始化多项式,coefficients 表示多项式的系数,prime 为有限域的素数 """self.coefficients=coefficients# 储存多项式系数self.prime=pr...
有限域多项式除法 有限域上的多项式除法是指在有限域上的两个多项式的相除运算,其计算过程与实数域上的多项式除法类似,但存在一些特殊情况。 在有限域上进行多项式除法时,必须先确定一个有限域的特定特性,例如模运算的特殊规则。具体的操作步骤如下: 1.对被除式和除式进行归纳整理,使其次数以及所有项的指数都符合...
在数学中，域上的最小多项式是指一个给定元素在该域上的一个最低次数的首一多项式，使得该多项式在该域上为零，且没有更低次数的多项式满足这个条件。具体而言，对于一个域上的元素α，其最小多项式是一个次数最低的首一多项式f(x)，满足f(α)=0，并且没有次数更低的首一多项式使得这个条件成立。最小多项式...
不可分解的多项式我们称之为不可分多项式。 比如整数系数下的x2+x+1就是不可分多项式,实际上,即使是2元域(0/1两个元组成的特征2的域)上,这个多项式也是不可分多项式。 但在7元域(0/1/2/3/4/5/6组成的特征7的域)上, x2+x+1 = (x+3) * (x+5) ...
域上多项式的带余除法 设f(x)f(x)和g(x)g(x)是F[x]F[x]的任意两个多项式,并且g(x)≠0g(x)≠0.那么在F[x]F[x]中可以找到多项式q(x)q(x)和r(x)r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x)(1)(1)f(x)=g(x)q(x)+r(x) 这里或者r(x)=0r(x)=0,或者r(x)r(x)的次数小于g(x)g...
令f∈F[x] 为一个阶为正数的多项式, E 为F 的一个扩张。 如果f 可以写成 E[x] 的线性因子的乘积,也就是说,存在 α1,α2,...,αn∈E 使得f(x)=a(x−α1)(x−α2)...(x−αn) ,其中 a∈F 是f 的首项系数, E 是最小的这种域。