自同构群是一种特殊的群。指群自身的映射所构成的群。群G的所有自同构在映射的合成运算下构成的一个群，称为群G的自同构群，常记为Aut(G)。外自同构群Out(G)是自同构群Aut(G)对内自同构子群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。群G的不是内自构的自同构称为外自同构。外自同构群的元素一般不是自同构。简...
这个自同构是由群里元素g诱导的,就叫做群G的内自同构. \color{blue}{同构:同态+双射\\ 同态: \forall x,y\in G,\sigma_g(xy)=g(xy)g^{-1}=gxg^{-1}gyg^{-1}=\sigma_g(x)\sigma_g(y)\\ 双射:一个x就有一个gxg^{-1},至于gxg^{-1}用消去律可以变回x } Inn(G)是G的全体内自...
3.1 假设 \varphi 是群G 上的映射 x\leftrightarrow x^{-1} ,证明: \varphi 是一个同构当且仅当群 G 是阿贝尔群 3.2 对于群 G 中的任意元素 g\in G ,证明:群 G 上的映射 \varphi(x)=gxg^{-1} 是一个同构 3.3 假设群 G 是循环群,若元素 x 生成群 G ,并且 \varphi:G\rightarrow G 是一...
要证明内自同构群Inn(G)同构于群G对其中心Z(G)的商群G/Z(G)，可以按照以下思路展开。整个过程需要结合群论的基本定义和同构定理的应用，确保每一步逻辑严密。基本概念回顾 内自同构群Inn(G)：由群G的所有内自同构映射构成。对于G中任意元素g，对应一个内自同构φ_g，定义为φ_g(x)=gxg⁻¹。所有这样的...
自同构群(group of automorphisms)是一种重要的几何变换群。是几何学分类的依据。自同构群一种特殊的群。指群自身的映射所构成的群。群G的所有自同构在映射的合成运算下构成的一个群，称为群G的自同构群，常记为Aut(G)。概念 自同构群是一种重要的几何变换群。是几何学分类的依据。设S是给定的空间，U是S上...
内自同构群 内自同构群是指一个群和它自身的同构映射构成的群。换句话说,对于一个群G,其内自同构群是由所有从G到G的同构映射组成的群。这个群通常记作Aut(G),称为G的自同构群。Aut(G)中的元素是从G到G的双射,并且保持群运算的映射。内自同构群在群论中有着重要的应用,可以帮助研究群的结构和性质。
循环群：有限循环群Zn的自同构群是Zn的单位元集合，阶为φ。无限循环群的自同构群为Z∞。置换群：当置换群阶数大于1时，自同构群通常为置换群本身；但当阶数为2时，存在反例。二面体群：二面体群的自同构群可以通过分析其生成元的自同构来得到，通常为Dih，其中n为二面体群的阶数。自同构群对群...
设G=为循环群,f1、f2为其自同构群中的两个元素,则必有f1(a)=a^k1,f2(a)=a^k2, 由同构的定义知f1(a^m)=a^(m*k1),f2(a^n)=a^(n*k2) 任取g∈G,则必有g=a^m,则 f1.f2(g)=f1(a^(m*k2))=a^(m*k1*k2) =f2(a^(m*k1))=f2.f1(g),其中“.”表示复合 故f1.f2=f2.f1...
在深入了解群同构的概念之前,我们需要先了解什么是群。群是一种代数结构,它由一个集合和一个二元运算组成。这个二元运算满足结合律、存在单位元素和存在逆元素,且封闭于这个集合内。群的元素通常用字母表示,例如G = {g1, g2, ..., gn},其中g1, g2,..., gn是群G中的元素。而群的二元运算通常用乘法符...