是群, 称为 (X,x_0) 的n阶同伦群(n-th homotopy group). 其中1阶同伦群正是我们的基本群. 上面定义的 \pi_n 确定了函子 \mathsf{Top}_\bullet\to \mathsf{Grp} . 如态射 f:(X,x_0)\to(Y,y_0) , \pi_n 作用于 f 上得到群同态 \quad \begin{align} f_*:\pi_n(X,x_0)&\to \...
同伦群(homotopy groups)是基本群的高维推广。基本群是从单位闭区间I到拓扑空间X的闭路的同伦等价类和其运算得到的。稳定同伦群(stable homotopy group)是一种特殊的同伦群。概念 稳定同伦群(stable homotopy group)是一种特殊的同伦群。由于悬垂同态：当n>k+1时为同构，所以 存在。此极限称为球面的第k个稳定同伦群，...
我们主要用两种方法来计算同伦群: 切除定理和纤维丛. 切除定理定理 设X是一个CW复形, X=A∪B, 其中A,B是子复形且C=A∩B是非空连通空间. 如果(A,C)是m-连通的, (B,C)是n-连通的, 那么πi(A,C)→πi(X,B)在$i 这一定理的证明非常复杂, 为了凸显主线我们将其放在之后.推论(...
基本群：当n＝1时，π1称为X的以x0为基点的基本群。基本群是代数拓扑中最简单也是最重要的同伦群之一，它反映了拓扑空间在基点附近的“洞”的数量和结构。意义：同伦群是描述拓扑空间性质的重要工具之一。它们能够揭示空间在不同维度上的“洞”的数量和结构，从而帮助人们理解和分类不同的拓扑空间。在...
引入同伦群是同伦论的核心，它在很大程度上决定了一个空间的同伦类型。同伦群的定义是将一个空间到另一个保持基点同伦类的映射集合。在讨论同伦群时，我们不能忽视CW复形，因为它与同伦群有紧密联系。我们有定理说明，对任意空间，存在一个与之弱同伦等价的CW复形，而且弱同伦等价下，空间的同伦群和同调群...
现在,让我们来计算球面的同伦群。球面的同伦群通常用\(\pi_1(S^2)\)来表示,它是球面上的基本回路类所构成的集合的同余类空间。基本回路类是指可以通过一个连续的变形变成常值映射的回路。在球面上,基本回路类可以通过一个整数\(n\)来表示,这个整数表示回路绕球面一周的次数。 通过这种方式,我们可以将球面上的...
同伦群是指同伦理论中研究的一个群结构,而基本群是同伦群的一种特殊情况。 首先,我们来了解同伦理论。同伦理论的主要研究对象是空间的连续变形。在拓扑学中,同伦是指一个空间可以缩成另一个空间。具体地说,给定一个空间A和B,如果存在一个连续的映射f:[0,1]×A→B,满足以下条件:对于任意的x∈A,有f(0,x)...
第二同伦群是基于同伦的一类阿贝尔群，将群的呈示看做二维复形而得到的第二同伦群，是组合群论研究的重要对象。第二同伦群（second homotopy group）基于同伦的一类阿贝尔群.将群的呈示看做二维复形而得到的第二同伦群.是组合群论研究的重要对象.设P=(X;R)是群G的一个呈示.P上的冯坎彭图的对偶图(以一圈代替一...
相对同伦群（relative homotopy group）是1993年公布的数学名词。定义 道路空间 设带基点的空间X的基点 属于X的子集A，则 的同伦纤维 就是道路空间 ，其元素为X中所有起点为 而终点属于A的道路。当 时，定义相对同伦群 圆盘 相对同伦群为 的相对同伦类组成的群。边缘同态 相对同伦群与同伦群之间存在边缘同态 公布时间...