基本性质:连通但非单连通(当 n≥3)。 低阶同伦群: π0(SO(n))=0(连通)。 π1(SO(n)): n=2:Z(SO(2)≃S1)。 n≥3:Z/2Z。 π2(SO(n))=0(对所有 n≥3)。 π3(SO(n))=Z(当 n≥5;对 n=3,4 仍为Z)。 Bott 周期性:稳定同伦群周期为 8,即 (当时)πk(SO(n))≃πk
这样,我们就得到了球面的同伦群\(\pi_1(S^2)\)。 总的来说,球面的同伦群的计算是一个复杂而有趣的数学问题,它涉及到路径的连续变形和同伦等价的概念。通过计算球面的同伦群,我们可以更好地理解球面的拓扑性质,这对于理解和研究球面上的各种现象具有重要的意义。
同伦群π_1(S^2)是描述球面上基本回路的同伦类的集合构成的群。基本回路是从球面上的一个点出发,沿着球面上的路径回到同一个点的路径。同伦类是指可以通过连续变换相互转换的路径。 球面的同伦群π_1(S^2)可以通过以下方式计算。首先,我们可以选择球面上的一个基本点作为基点,然后考虑以该基点为起点的所有基本...
我们因此可以计算它的同伦群. 例3 对于射影空间我们有S0→Sn→RPn, S1→S2n+1→CPn. 后者对n=∞也成立. 因此πi(CP∞)=πi−1(S1), 因为S∞是可缩的. 所以CP∞是K(Z,2). 例4 当n=1时我们知道CP1=S2. 于是有S1→S3→S2. 这即是著名的Hopf丛. S3→S2是由(z0,z1)↦z0z1∈C∪{∞}=...
最基本的同伦群是基本群π₁，它记录了从某一点出发的闭合路径在连续变形下的等价类。形式上，如果两个路径能通过“拉伸、压缩、不撕裂”的方式变为彼此，则它们属于同一个等价类。更高阶的同伦群πₙ(X)（n ≥ 2）则记录了n维球体在空间X中“嵌入”的方式，其结构更为复杂，但也更为强大，能捕捉到空间...
id=40713、球面稳定同伦群:理论与计算的现状与展望Stable homotopy groups of spheres: Theories and Computations, where to now?M250301 2025-03-09 ~ 2025-03-13Website: http://www.tsimf.cn/meeting/detail?id=4022025Workshop12 2025研讨会12 ...
同伦群的计算问题研究同伦群的计算问题研究 1预备知识 定义:设A是一个群,道路连通空间Y是一个Eilenberg-MacLane空间K(A,n),如果 命题1:(万有系数定理)对于任意一个拓扑空间X和Able群G (1)以G为系数的X的同调群为: ; (2)以G为系数的X的上同调群为: ; 命题2:(Postnikov)任何一个连通CW复形都可以写成...
Whitehead定理：任何一个同伦群都平凡的CW复形必然可缩。（等价地，一个在同伦群上诱导同构的CW复形的...
谱序列和球面的稳定同伦群的计算低维拓扑的基本工具纽结理论,各种多项式(Alexander,Jones,HOMFLY)Donaldson等人关于4流形和Gauge theory的工作Seiberg-Witten理论Kontsevich在纽结理论上的工作,与Mirror Symmetry的联系Khovanov homology 和 Categorification,如何反映在String theory上(之前在icbs上听过一次Khovanov的报告,因为一...