对于实对称阵A,一定存在可逆阵P,使得(P^T)AP=diag(a1,a2,...,an)其中a1,a2,...,an为A的特征值.对于任意列向量Y=[y1,y2,...,yn]^T,做列向量X=PY.由于A半正定,所以(X^T)AX>=0[(PY)^T]A(PY)>=0(Y^T)[(P^T)AP]Y>=0a1*y1^... 分析总结。 对于实对称阵a一定存在可逆阵p使得p...
先做合同变换C^TAC=diag{D1,0},其中D1正定,那么C的最后若干列(对应于对角阵中的0块)构成零特征值的特征向量,对这些向量正交化得到Q1,并且张成一个正交阵Q=[Q1,*],那么Q^TAQ=diag{0,D2},然后问题转化为求正定阵D2的最小特征值,假定这个问题你会解结果...
半正定矩阵的特征值均为非负数(即所有特征值满足 (\lambda \geq 0))。其核心性质可通过特征值的非负性、求解方法及与正定矩阵的差异来阐述。 1. 特征值的非负性 半正定矩阵的定义为:对任意非零向量 (\mathbf{x}),二次型 (\mathbf{x}^T A \mathbf{x} \geq 0)。设矩...
假设矩阵A和B都是n阶半正定矩阵，它们的特征值按从小到大排列分别为λ₁≤λ₂≤…≤λₙ和μ₁≤μ₂≤…≤μₙ。矩阵C=A+B的特征值记为ν₁≤ν₂≤…≤νₙ。根据Weyl定理，每个特征值满足νᵢ≥λᵢ+μ₁。当矩阵A严格正定时，μ₁>0，此时νᵢ必然比λᵢ大。实际验证这个...
半正定矩阵的特征值分解可以通过求解它的特征向量和特征值来完成。特别的,对于一个n * n的半正定矩阵A,它的特征向量x和特征值λ满足下式: Ax = λx 其中,x是非零向量。由于A是对称矩阵,因此它的特征值全部为实数,并且它的特征向量可以组成一个正交基。
所以A为半正定矩阵。2.2 主次对角元判定法 设A为n阶实对称矩阵,aii为A的主对角元。如果A的所有主对角元aii都大于或等于0,则A为半正定矩阵。证明:因为A的主对角线元素即为其特征值。由2.1可知,如果对角元素均非负,则矩阵为半正定矩阵。2.3 向量积判定法 设x为任意非零实向量,A为n阶实对称矩阵。如果对...
既然A是半正定矩阵，不妨假设最小的特征值为λ, 则显然A−λE也是半正定矩阵，其中E是单位矩阵。这...
在这个过程中,我发现半正定矩阵的广义特征值就像是一个隐藏的宝藏,你得一点点去挖掘,去探索。它不是那种一下子就能让你明白的东西,而是需要你有耐心,有毅力,慢慢去琢磨。有时候可能会觉得很头疼,但是当你突然找到一点线索,那种兴奋感简直无与伦比。 其实啊,生活中很多事情也像半正定矩阵的广义特征值一样,不是...
首先,我们以谱定理为基础,对半正定矩阵的特征值进行证明。谱定理可以定义为:凸矩阵的特征值全部非负。因此,我们可以从谱定理出发,利用半正定性,证明凸矩阵的特征值也是非负的。 其次,我们用变分原理证明半正定矩阵的特征值非负。在变分原理中,特征值可以视为半正定矩阵最小化某一函数的最佳解的特性。根据半正定...