代数数论 [algebraic number theory]主要是利用代数工具研究代数数域与代数整数环的算术性质的一个数论分支。所谓代数数域即有理数域的有限次扩域,所以人们常常称通常的数论为有理数论。代数数论在20世纪得到很大的发展。在纯粹数学(或核心数学)中有非常重要的地位。有关词条中将介绍其主要的内容。在此仅谈几点看法。
数论是一门研究整数的学科,但其所用到的工具却遍布整个数学世界:你可以把整数看作一个环,或者看作实数或复数的子集,也可以看作进数的子集……每一次转换视角,往往带来的都是一个崭新的世界。可以说,整数就是数学中的冰山一角,而今天我们要讲的代数数论,正是其背后...
代数整数环理论的威力可见一斑。 代数数论(三):单位群、理想类群 目标:研究解的结构、数域的算术结构。 在\mathbb Z的情况下,有唯一分解,单位就是正负1 而一般情况下,唯一分解可能失效(其程度用理想类群刻画),同一个主理想的生成元可能不止差个正负号(也就是说为了从理想回到数,我们必须考虑代数整数环的单位群...
数论是一门研究整数的学科,但其所用到的工具却遍布整个数学世界:你可以把整数看作一个环,或者看作实数或复数的子集,也可以看作进数的子集……每一次转换视角,往往带来的都是一个崭新的世界。可以说,整数就是数学中的冰山一角,而今天我们要讲的代数数论,正是其背后的一座冰山。
1. 代数数论的起源 代数数论的发展可以追溯到19世纪末。当时，德国数学家克罗内克提出了整数环的理想概念，并在此基础上深入研究了整数环的结构。他的工作为后来整数环的唯一分解定理的证明奠定了基础。随后，德国数学家迪德金德对费马大定理进行了研究，引入了Kummer域的概念，解决了部分特例。这些重要成果使代数数论与...
代数包括对代数方程解集结构、排列、组合和变换结构的研究。如果结构的定义规则是可交换的，那么该主题称为交换代数。代数几何研究一个或多个未知数的多项式方程的解集；这项研究得到了对抽象结构（例如簇、方案、堆栈等）的研究的帮助。幂级数方程的解集也在代数几何中自然出现。数论主要研究整数，尤其是素数。一个或...
代数数论把整数的概念推广到代数整数。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的，由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有深厚的数学基础功底才能深入。几何数论的基本研究对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在...
代数数论是数论的一部分,它研究的对象是整数的代数性质。这里的代数性质主要包括整数的整环性、唯一分解性、模运算等。代数数论的基本概念可以归纳为以下几点: 1.整环性:整环性是指整数集构成一个环,即满足环的四个基本运算(加法、减法、乘法、除法)和分配律。 2.唯一分解性:唯一分解性是代数数论的重要概念,它表...
数论是一门研究整数的学科,但其所用到的工具却遍布整个数学世界:你可以把整数看作一个环,或者看作实数或复数的子集,也可以看作进数的子集……每一次转换视角,往往带来的都是一个崭新的世界。可以说,整数就是数学中的冰山一角,而今天我们要讲的代数数论,正是其背后的一座冰山。