将上同调与同调相关联的关键点在于一个从X中的单形到G中的映射可以自然诱导出一个从Δn到G中的一个映射,我们可以参照并推广前文一维情况下对δ的定义δψ([v0,v1,…,v0])=∑j(−1)jψ([v0,…,
由于 \mathscr{I} 为内射 \mathscr{O}_X-模 , 故根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论(第一篇):导出函子》中的定理1的(v)可知 , 对任意的 i > 0 有H^i(X,\mathscr{I})=0 , 从而根据上同调的长正合列可知H^1(X,\mathscr{F})=0 以及当 i \geq 2 时有H^i(X ...
上同调是通过对偶的形式引入的，所以形象大概是形象不起来了。在流形上通过微分形式表现出来，同调中的链...
广义上同调的重要例子之一是K理论。K理论最初是由Grothendieck在1950年代为了解决代数几何中的一些难题而构造的。它的基本想法类比于我们在自然数集合中加入负数之后得到整数集合,而后者具有群的结构。K理论的思想逐渐影响了其他数学领域,包括拓扑、数论、泛函分析等。和上同调类似,K理论为每一个空间赋予了一族代数对象,...
由,我们得到单纯上同调群的定义: 。 单纯上同调群和de Rham上同调群同构, 。 上同调群的计算 图3. 上同调群基底的算法。 给定一个三角剖分的曲面,表示成单纯复形M。我们计算其单纯上同调群的基底。算法非常直接了当: 我们先用火烧法计算同伦群(下同调群)的基底,记为, ...
群的上同调为霍赫希尔德上同调群的特例。定义 设G为群，M为左G模。则群G的系数取值于M的第n上同调群定义为 其中 为平凡G模。等价定义为 计算G的上同调的标准复形为 其中Cⁿ(G,M)={f:Gⁿ→M}。其中δ定义为 (δm)(g)=gm-m，δf(g₁,...,g)=g₁f(g₂,...,g)+ +(-1)f(g...
李代数上同调 李代数上同调是李代数的一种上同调理论，由谢瓦莱和艾伦伯格为了对紧李群的拓扑空间的上同调进行代数构造而建立。在上文提及的论文中，一个特定的被称作Koszul复形的特殊复形，在李代数的模上定义，而其上同调则以一般形式被构造。
上同调群的构造可以由同调群完全确定。当多面体│K│为定向流形时，同调群与上同调群之间存在对偶关系，即Hn(|K|;G)同构于Hq-n(│K│;G)，其中q为流形│K│的维数。J.W.亚历山大在1915年证明了多面体的同调群的拓扑不变性，即如果两个多面体│K│，│L│同胚，那么这个同胚诱导它们的上同调群、...
首先來談談動機，正如幾個月前傻傻的我一樣，棱鏡上同調（prismatic cohomology）是Bhatt-Scholze構造的一...