这种情况下,攻击者可以利用Coppersmith方法尝试恢复完整的密钥。 4.2 攻击模型 假设攻击者已知私钥指数d的低位dL,可以构建如下多项式: f(x)=xe−mmodn 其中,m是已知的密文,e是公钥指数。 4.3 应用Coppersmith方法 利用Coppersmith方法,攻击者可以找到满足以下条件的x: |f(x)|<n1/k 如果x的值能够被确定,那么可...
二、Coppersmith定理攻击 下面开始正题,Coppersmith定理攻击,也是针对n Coppersmith定理指出在一个e阶的mod n多项式f(x)中,如果有一个根小于n^1/e,就可以运用一个O(log n)的算法求出这些根。 这个定理可以应用于rsa算法。如果e = 3并且在明文当中只有三分之二的比特是已知的,这种算法可以求出明文中所有的比特。
Coppersmith方法是一种解决模𝑁下多项式方程近似根的方法。对于多项式𝑓(𝑥),如果存在一个解𝑥,使得 ∣𝑓(𝑥)∣<𝑁1/𝑘,其中𝑘是多项式的度数,那么Coppersmith方法可以在多项式时间内找到这样的解。 3.1 Coppersmith方法简介 Coppersmith方法基于Lattice reduction(格约简)和LLL算法(Lenstra–Lenstra–Lová...
Coppersmith方法可以应用于以下场景: 小公开指数攻击:当公钥指数 e 较小时,可以利用该方法求解相应的方程。 低位泄露攻击:当密钥的低位部分泄露时,可以通过构建相应的多项式方程来恢复整个密钥。 4. RSA特定密钥泄露攻击 4.1 攻击背景 在实际应用中,RSA密钥可能因为某些原因部分泄露,例如私钥指数 d 的部分位或者加密后...
书接上回,这一篇集合一下 Coppersmith’s Method 在 RSA 公钥密码体制中的一些应用。首先是比较经典的一些问题,摘自 2019 年 第三届强网杯的 copper study (历史非常的悠久了属于是,也是我刚开始玩 CTF 的时候) 第一关:Stereotyped messages [ ]Generating challenge1 ...
从这两段代码可以得知:p = 1024bits,且 560 bits 低位数据是已知的,通过上面的理论知识我们可以构造相关的模多项式,然后利用 Coppersmith 算法计算出多项式的小整数根,即可恢复出完整的私钥 p。 用到的参数:monic():用于将多项式的首项系数归一化为1。
接下来使用Coppersmith算法求解。 GithHub实现链接 二、攻击工具 1. RsaCtfTool GitHub链接:RsaCtfTool 在Ubuntu18.04下的安装RsaCtfTool(进入RsaCtfTool目录下): apt install -y libgmp-dev apt install -y libmpfr-dev apt install -y libmpc-dev pip3 install gmpy2 -i https://pypi.douban.com/simple...
Coppersmith定理攻击 Coppersmith定理指出在一个e阶的mod n多项式f(x)中,如果有一个根小于$ n^frac{1}{e} $,就可以运用一个O(log n)的算法求出这些根。 这个定理可以应用于RSA算法。如果e = 3并且在明文当中只有三分之二的比特是已知的,这种算法可以求出明文中所有的比特。
Coppersmith定理攻击 Coppersmith定理指出在一个e阶的mod n多项式f(x)中,如果有一个根小于n1e’>n1en1e,就可以运用一个O(log n)的算法求出这些根。 这个定理可以应用于RSA算法。如果e = 3并且在明文当中只有三分之二的比特是已知的,这种算法可以求出明文中所有的比特。
Coppersmith攻击:已知p的高位攻击 知道p的高位为p的位数的约1/2时即可 Coppersmith攻击:已知明文高位攻击 Coppersmith攻击:已知d的低位攻击 如果知道d的低位,低位约为n的位数的1/4就可以恢复d Coppersmith攻击:明文高位相同 已知dp或dq(dp = d mod p-1,dq = d mod q-1) ...