1. Mordell-Weil定理的陈述 Mordell-Weil定理描述了椭圆曲线上有理点所构成的Abel裙的结构。具体而言,Mordell-Weil定理陈述了:对于任意一个椭圆曲线$E:y^2 = x^3 + ax + b$,其上的有理点构成的Abel裙$E(K)$是一个有限秩的自由阿贝尔裙,即存在一组有限个元素$P_1, P_2, \ldots, P_r \in E(K...
我们尝试在一般数域 K 上处理Mordell-Weil定理,由于在之前的文章中已经处理过了一般域上的弱Mordell-Weil定理,只需要考虑在一般域上的椭圆曲线的有理点群上定义合适的高度即可。但是出于 OK 未必唯一析因,和之前一样的自然高度是难以建立的,所以我们需要使用代数数论里惯用的素理想分解和赋值理论来处理。 投射平面上...
至此我们完成全部的证明细节,并且通过这些证明我们说明了在这个特殊情况下弱Mordell-Weil定理是成立的。 弱Mordell-Weil定理 无论如何,任何一个有理数域上的椭圆曲线 y^2=x^3+ax+b 一定会在某个数域 K 上被完全分解,我们是否可以像特例中的证明推导出 E(K)/2E(K) 有限,然后提升为 E(\mathbb Q)/2E(\ma...
椭圆曲线上的Mordell-Weil定理：无穷递降与有限生成性费马的未完成证明，即无穷递降法，后来在椭圆曲线的数学研究中扮演了重要角色。这个方法揭示了有理数域上的椭圆曲线的有理点集合实际上是一个有限生成的阿贝尔群。通过高度函数的定义，群中任意点的高度不能无限下降，而是严格限制在某个范围内，这确保...
文章进一步探讨椭圆曲线的群结构，指出椭圆曲线上的有理点构成的群是有限生成的。通过选取一组代表元集合，定义高度函数，并利用无穷递降法，证明了椭圆曲线上的有理点群是有限生成的，即弱Mordell-Weil定理的成立。针对特殊情形，如方程在特定数域上可以完全分解，文章引入映射和特征函数，构造群同态，证明...
本文详细探讨了椭圆曲线的高度概念，尤其是针对一般数域情况下的Mordell-Weil定理。首先，文章解释了在一般数域上的椭圆曲线高度定义，强调了在非唯一析因数域中如何使用素理想分解和赋值理论来构建自然高度。接着，文章讨论了绝对高度在域扩张中的表现，并展示了其在不同数域中的性质，以及如何将其定义在一般...
Theorem9.0.2—Mordell-Weil.LetE/QbeanellipticcurvedefinedoverQ.Thenthe groupE(Q)isfinitelygenerated,i.e. E(Q)Z r ⊕T, wherer≥0istherankofE(Q),andTisafinitegroup.Thismeansthatthereexistr≥0 pointsP 1 ,...,P r ∈E(Q)suchthateverypointP∈E(Q)canbeuniquelyexpressedas P=P 0 ...
(Q) , when E is anelliptic curve over Q. Namely, we will prove the following theorem.Theorem 9.0.2 — Mordell-Weil. Let E/Q be an elliptic curve defined over Q . Then thegroup E(Q) is finitely generated, i.e.E(Q) ’ Z r ⊕T,where r ≥ 0 is the rank of E(Q) , and ...
the mordell-weil theorem莫德尔韦伊定理 下载积分: 1000 内容提示: ValuationsIntegral modelsTorsion subgroup: The Lutz-Nagell Theo-remReduction mod p9. Elliptic curves over Q: torsionIn this chapter and the next, we will study the structure of the abelian group E(Q) , when E is anelliptic ...
故 Weil 表示 Mordell 猜想只能算作一个数学问题 , 对于它是否成立缺乏足够的证据 , 而其中一个著名的例子就是 Fermat 曲线, 其中该曲线的亏格为, 于是当时. 在19世纪40年代 , 数学家 Kummer 证明了当时方程不存在整数解使得, 由此推...