Miller–Rabin 素性测试(Miller–Rabin primality test)是进阶的素数判定方法。它是由 Miller 和 Rabin 二人根据费马小定理的逆定理(费马测试)优化得到的。因为和许多类似算法一样,它是使用伪素数的概率性测试,我们必须使用慢得多的确定性算法来保证素性。然而,实际上没有已知的数字通过了高级概率性测试(例如 Miller...
Miller-Rabin测试 根据卡迈克尔数的性质,可知其一定不是 $p^e$. 不妨将费马小定理和二次探测定理结合起来使用: 对偶数和0、1、2直接判断 设要测试的数为 $n$,设$m$、$k$,满足 $n-1 = m2^k$(使其中 $m$ 为奇数) 我们先算出 $a^t$,然后不断地平方且进行二次探测(进行 $k$ 次) 最后根据费...
情形⑤:若已检测过底数2,3,5,则偶数次方的底数如4,9,16,25,这些底数就不用选了 总之,可以证明Miller-Rabin算法的错误概率最大为14,实际应用远低于此(并且可以多次测试以提高正确率)这里就不再给出证明过程。
Miller-Rabin素性测试同样是不确定算法,我们把可以通过以a为底的Miller-Rabin测试的合数称作以a为底的强伪素数(strong pseudoprime)。第一个以2为底的强伪素数为2047。第一个以2和3为底的强伪素数则大到1 373 653。 Miller-Rabin算法的代码也非常简单:计算d和r的值(可以用位运算加速),然后二分计算a^d mod...
费马检验 Miller-Rabin检验 Fermat检验 Carmichael数 Miller-Rabin检验 素性检验 我们知道,可以通过O(n)的时间复杂度来验证一个数n是否为一个素数。然而当这个数n太大的适合,这个检验就显得很慢。因此出现了一些比较高校的随机的方法,检验在某个错误率在可接受概率范围内某个数是否为素数。本文就是介绍其中的一种...
Miller-Rabin确定性素性检验是一种用于判断一个数是否为素数的算法。它基于费马小定理和随机化的思想,通过多次随机选择的测试来判断一个数的素性。 该算法的基本原理是:对于一个待判断的数n,首先将n-1分解为2^s * d的形式,其中d为奇数。然后,选择一个随机数a,满足1 < a < n-1。通过计算a^d mod n,...
Miller_Rabin素数测试算法 ⼆次探测定理优化 Miller和Rabin两个⼈的⼯作让Fermat素性测试迈出了⾰命性的⼀步，建⽴了Miller-Rabin素性测试算法。新的测试基于下⾯的定理：如果p是素数，x是⼩于p的正整数，且，那么要么x=1，要么x=p-1。这是显然的，因为相当于p能整除，也即p能整除(x+1)(x-1...
Miller-Rabin（素数测试算法）【作⽤】⼀般素数判定⽅法有试除法和Miller-Rabin。试除法枚举2-√n，时间复杂度为O（√n），⼀旦n特别⼤，就不适合⽤试除法进⾏判定。这时候我们可以对其进⾏ Miller-Rabin 素数测试，可以⼤概率测出其是否为素数。【两个基础理论】（1）：费马⼩定理：当p为质数...
准确性 所有的奇合数都有很多的a满足"witness"的条件,不过目前为止还没有确定的算法能够直接根据n生成这样的数a,于是我们可以多次随机抽取1~n-1中的整数并做测试。 当我们k次随机选取a测试时,一个合数被该算法判定为素数的概率是4^(-k)。 一种实现 ...
其次,fermat素性测试与Miller-Rabin素性测试的结果均为不确定的,即不保证完全正确。保证完全正确的算法有:AKS算法 (发表的相应论文名:PRIME is in P)。 二、fermat素性测试 原理:费马小定理: 假如p是质数,且Gcd(a,p)=1,那么 a(p-1) ≡1(mod p)。即:假如a是整数...