② Jordan 标准型定理的特殊形式 我们首先证明,一个严格上三角矩阵可以相似于特征值全为 0 的Jordan 矩阵. 即J = J_{n_1}(0) \oplus J_{n_2}(0) \oplus \dots \oplus J_{n_k}(0) =\begin{pmatrix} J_{n_1}(0) &&&\\ &J_{n_2}(0)&&\\ &&\ddots &\\ &&&J_{n_k}(0) ...
Jordan标准型 定义:形如 J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & & \\ & \lambda_i & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \lambda_i & 1 \\ & & & & \lambda_i \end{pmatrix}_{r_i \times r_i} 的矩阵被称为 r_i 阶Jordan块...
任意一个方阵A都和一个Jordan标准型矩阵J相似,换句话说,就是存在矩阵P使得:P^{-1}AP=J=Diag(J_{11},...,J_{ij},...),其中J_{ij}=J(\lambda_{i},d_{ij})。i代表该Jordan块对应特征值\lambda_{i},j代表对应特征值\lambda_{i}的第j个Jordan块。其中\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lam...
Jordan标准型 🐯好了,现在我们来聊聊Jordan标准型本身。简单来说,Jordan标准型就是把一个矩阵分解成若干个Jordan块,每个Jordan块都是一个上三角矩阵。这些Jordan块的总数等于特征值的代数重数,而每个Jordan块的对角线上的元素就是这个特征值。 总结📝总结一下,我们可以用一张图来描述这些关系: 矩阵A的特征值入:...
Jordan标准型保证了在复数域上的每一个矩阵都相似于一个准对角阵,且这个准对角阵的每一个块都是一个 Jordan块,从而可以将对一个矩阵或线性变换的整体讨论控制在其一个子空间上,也就是一个Jordan块上,从而 使得问题得到大的简化。 一.已知矩阵A\in\mathbb{C}^{n\timesn}且A可逆,则存在B使得B^2=A. ...
求解可逆方阵P结束,现在得到的n阶可逆矩阵P,可使得P-1AP=J,其中J为n阶数字方阵A的Jordan标准型。 任何一个n阶数字矩阵都对应一个Jordan标准型。 Jordan标准型的应用之一就是求矩阵A的方幂,如Ak。 因为P-1AP=J,所以A=PJP-1有Ak=PJkP-1,其中Jk为: ...
本文主要概述了Jordan标准型的定义和矩阵化为Jordan标准型的方法。Jordan标准型是一种特殊的矩阵形式，其特征是主对角线及上方对角线非零元素为1，且两边的系数相等。矩阵通过一系列步骤转换为这种形式，涉及代数重数和几何重数的概念，以及特征多项式、特征空间和广义特征空间的运用。首先，理解代数重数和几何...
Jordan标准型作为矩阵的特殊表达形式,在数学领域中占有重要地位。其主要作用是将复数域上的n阶方阵分解成若干Jordan块的直接和,从而更易于处理和分析。 具体表现在以下方面: 矩阵相似性问题:对于复数域上的n阶方阵A,通过Jordan标准型,我们能找到一个可逆矩阵P,使得P^-1AP的形式为Jordan矩阵。这种变换有助于我们深入...
第2章 Jordan标准型 第2章：Jordan标准形介绍Jordan标准形介绍 JordanCanonicalForm 第2章：Jordan标准形介绍Jordan标准形介绍 问题：问题：对线性空间中的线性变换T求一组基{对线性空间中的线性变换T，求一组基{α1，α2，…，αn}{α1，α2，…，αn}和矩阵JT:J和矩阵J，使 •矩阵J尽可能简单。矩阵J...