我们今天来讨论,当关注的变量Z是一系列i.i.d随机变量的和这类情况下,相比Chernoff bound更加紧凑的bound霍夫丁不等式(Hoeffding's inequality)。我们首先快速回顾用来证明Hoeffding's inequality所需要的工具,詹森不等式(jensen's inequality)。 Jensen's Inequality 詹森不等式(Jensen's inequality)是统计与最优化领域...
这边文章主要给出Concentration inequality 中Hoeffding inequality 以及Azuma inequality的证明。 Markov inequality Thm1:设X是非负随机变量,则 P(X≥ϵ)≤EXϵ,∀ϵ≥0. 证: EX=∫ΩxdP(X)≥∫X≥ϵϵdP(X)=ϵP(X≥ϵ). Hoeffding lemma Thm2:设随机变量X满足EX=0, X∈[a,b],a.s....
首先，我们回顾了詹森不等式(jensen's inequality)，这是证明霍夫丁不等式的关键工具。詹森不等式指出，对于一个凸函数，其在随机变量期望值上的映射结果大于或等于该函数在其随机变量上的期望值。然后，我们通过Hoeffding引理(Hoeffding' lemma)的证明，利用詹森不等式的特性，建立了霍夫丁不等式的基本形式...
霍夫丁不等式的证明首先利用马尔科夫不等式，然后通过考虑函数的凸性质和泰勒展开，最终得到关于期望值偏离的概率的上界。切比雪夫不等式是另一个重要的概率不等式，它描述了随机变量偏离其期望值的概率与方差的关系。切比雪夫不等式表明，对于任何正实数k，随机变量X的绝对值大于k期望值的概率小于X方差除以...
证明: 将Markov's inequality中的ϵϵ用etϵetϵ代替,E[X]E[X]用E[etX]E[etX]代替, 所以上界应为E[etX]/etϵ=e−tϵM(t)E[etX]/etϵ=e−tϵM(t). 2. Hoeffding's Lemma (the upper bound of moment-generating funtion) ...
Similarly, when k = (p + ε)n for some ε > 0, Hoeffding’s inequality bounds the probability that we see at least εn more tosses that show heads than we would expect: P(H (n) ≥ (p + ε)n) ≤ exp (−2ε2 ) n . PP((S|Snn−−EE[S[Snn]]≥...
Hoeffding's inequality Let{Yi:i∈J}{Yi:i∈J}be zero mean independent complex-valued random variables satisfying|Yi|≤R.|Yi|≤R.Then for allc>0,c>0, P ( | ∑ i∈J Yi | > c ) ≤ 4 exp (−c24R2|J|) See, Hoeffding, W,Probability inequalities for sums of bounded random ...
霍夫丁不等式，由Wassily Hoeffding在1963年提出，是概率论中的重要理论，它揭示了随机变量和其期望值偏差的概率上限。此不等式比Bernstein不等式更具一般性，并且是Azuma-Hoeffding不等式的特例。在机器学习领域，霍夫丁不等式为理论可行性提供了坚实基础。霍夫丁不等式在特定条件下的伯努利随机变量特例中...
这个证明是我自己思考的,可能不是太简洁,但是比较初等,不需要随机过程等知识,证明思路主要是受到MIT概率课程的启发,我个人也强烈推荐这门课。 参考资料: https://en.wikipedia.org/wiki/Hoeffding%27s_inequality http://www.xuetangx.com/courses/course-v1:MITx+6_041x+2018_T1/about 文章作者: Doraemonzzz ...
We provide a generalization of Hoeffding's inequality to partial sums that are derived from a uniformly ergodic Markov chain. Our exponential inequality on the deviation of these sums from their expectation is particularly useful in situations where we require uniform control on the constants appearing...