Gram-Schmidt正交化是一种在线性代数中用于将一组线性无关的向量转换为一组两两正交的向量的方法,并可进一步得到标准正交向量组。以下
Gram-Schmidt 正交化 从这个例子来观察和领悟Graham-Schmidt正交化,这里我们取了一些长度相同的正交向量,为了得到单位向量,我们让向量的长度变为1,例如 \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{bmatrix} 的向量长度为 \sqrt{1^2 + 2^2 + 2 ^2} = 3,所以我们对矩阵乘以 \frac{1}{3} 就得到了正交矩阵。
Gram-Schmidt的核心就是每个新的矢量都减去它在已经正交化的矢量方向的投影,进而每次新增一个新的正交矢量。新的矢量只和之前的矢量有关,而与后面的矢量无关。 我们用一个具体的例子来说明。 a=\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}2\\0\\-2\end{bmatrix},c=\begin{bmatrix}3...
Gram-Schmidt正交化是一种将线性无关向量组转换为两两正交向量组的算法,通过递归去除向量在已构建正交向量上的投影实现。其核心在于分
% 改进的格拉姆-施密特正交化方法(Modified Gram-Schmidt)% 输入:矩阵A% 输出:矩阵Q即是一个正交化且单位化后的矩阵function [Q, R] = mgs(A)[m, n] = size(A);Q = zeros(m, n);R = zeros(n, n); for j = 1:nv...
階上三角矩陣。Gram-Schmidt 正交化是最常見於一般線性代數教科書的 QR 分解演算法 (見“Gram-Schmidt 正交化與 QR 分解”),以下稱之為古典 (classical) Gram-Schmidt 正交化,簡稱 CGS。不幸的是,當數值計算引入捨入 (roundoff) 誤差時,CGS 最終產生的 ...
对于多项式来说,也可以应用Gram-Schmidt正交化。 假设我们有一组多项式(p_1(x), p_2(x), \ldots, p_n(x)),它们线性无关。我们想要找到一组正交多项式(q_1(x), q_2(x), \ldots, q_n(x)),使得它们在某个内积空间(比如所有次数不超过(n)的多项式构成的空间,内积定义为(\langle p, q \rangle...
Gram-Schmidt过程的基本步骤如下: 1. 选取一组线性无关的向量作为初始向量组。 2. 对每个向量进行归一化,使其长度为1。 3. 使用先前正交化的向量来去除未正交化的向量中的线性依赖项,即通过正交化过程消除向量组中的线性相关项。 4. 重复步骤2和3,直到所有向量都被正交化。 Gram-Schmidt过程可以用于将任意一...
Gram-Schmidt算法 相关知识点: 试题来源: 解析 是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,这种方法称...
Gram-Schmidt正交化是一种数学方法,用于将一组向量转换为一个等价的正交(或垂直)向量集。在图像融合中,这种方法能够很好地将多光谱图像的光谱带转换为一组正交基,并将全色图像信息作为新的分量加入到这组基中,从而实现图像的有效融合。 Python实现步骤 1. 准备工作 首先,确保安装了必要的Python库,如numpy、opencv...