Gram-Schmidt 正交化 从这个例子来观察和领悟Graham-Schmidt正交化,这里我们取了一些长度相同的正交向量,为了得到单位向量,我们让向量的长度变为1,例如 \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{bmatrix} 的向量长度为 \sqrt{1^2 + 2^2 + 2 ^2} = 3,所以我们对矩阵乘以 \frac{1}{3} 就得到了正交矩阵。
由此可见,所有列独立的矩阵 A 都有QR 分解,即 A= 正交\times 上三角。 看个具体例子。把上面例子的 a,b,c 作为A 的列,那么 A=\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&0&-3\\0&-2&3\end{bmatrix}, Gram-Schmidt之后得到 Q=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\...
这就是傅里叶变化和所有应用数学中各种变化的基础,它们将向量或者函数分解成正交的小片,将这些小片加起来之后就回到了原函数。 3. Gram-Schmidt 正交化和\(A\)的\(QR\)分解 从上面我们可以看到正交对我们是非常有利的,现在我们就要找到一个方法来创造出标准正交的向量。假设我们有三个不相关的向量\(a, b, ...
Gram-Schmidt正交化是一种将线性无关向量组转换为两两正交向量组的算法,通过递归去除向量在已构建正交向量上的投影实现。其核心在于分
旋转矩阵 QQ 就是将任意向量逆时针旋转 θθ,其逆矩阵 Q−1Q−1 就是将任意向量顺时针旋转 θθ。 置换(Permutation) 置换矩阵的作用就是交换矩阵的行,在消元的时候有很大的作用。 镜像(Reflection) 如果uu 是任意单位向量,那么 Q=I−2uuTQ=I−2uuT 是一个正交矩阵。 Q2=QTQ=IQ2=QTQ=I 绕...
正交矩阵与Gram-Schmidt正交化是线性代数中的核心概念。在分析向量空间与矩阵运算时，它们提供了一种简洁、高效的方法来处理基向量的构造与变换。正交基是指基向量之间两两正交且长度为单位长度的基。在正交基下，向量的点积即代表向量在另一向量上的投影长度。将标准正交向量构建成矩阵，即为标准正交矩阵...
设矩阵$A$有两个列向量$\Bigg[a_1 a_2\Bigg]$,则标准正交化后有$\Bigg[a_1 a_2\Bigg]=\Bigg[q_1 q_2\Bigg]\begin{bmatrix}a_1^Tq_1&a_2^Tq_1\\a_1^Tq_2&a_2^Tq_2\end{bmatrix}$,而左下角的$a_1^Tq_2$始终为$0$,因为Gram-Schmidt正交化总是使得$a_1\bot q_2$,后来构造...
这样就将投影矩阵简单化了。 2)求解Ax=bAx=b 在投影矩阵章节我们已经知道:^x=(ATA)−1ATbx^=(ATA)−1ATb 当矩阵A为标准正交矩阵Q时,由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵,则上式可以转化为:^x=QTbx^=QTb 三、Gram-Schmidt正交化 1)二维情况 假设原来的矩阵为[a,b],a,b为线性无关的二维向量,下面...
线性代数中，正交矩阵和 Gram-Schmidt 正交化方法对于简化计算和构建标准正交向量至关重要。目标一是理解正交性如何简化[公式]、[公式]、[公式]的处理，使得[公式]成为对角矩阵；目标二是掌握从原始向量中构造正交向量的技术。标准正交基的概念要求向量[公式]满足[公式]的关系。如果一个矩阵的列是标准正交...
2. Gram-Schmidt正交化法 这是一种将矩阵转化为标准正交向量orthogonormal matrix的方法。按老师的说法Schmidt教我们如何将一个向量标准化normalized,而Graham教我们如何使得各个向量正交orthogonal。 总思路: 已知相互无关的向量a,ba,b,目标要将a,ba,b变成相互正交且长度为1的q1,q2q1,q2,可将向量aa 固定,然后bb...