Gram-Schmidt 正交化 从这个例子来观察和领悟Graham-Schmidt正交化,这里我们取了一些长度相同的正交向量,为了得到单位向量,我们让向量的长度变为1,例如 \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{bmatrix} 的向量长度为 \sqrt{1^2 + 2^2 + 2 ^2} = 3,所以我们对矩阵乘以 \frac{1}{3} 就得到了正交矩阵。
Gram-Schmidt等效于另一种重要的矩阵分解 A=QR ,其中 A 的列是一组独立的矢量, Q 的列是 A 的列Gram-Schmidt正交化之后得到的矢量,它们是同一个子空间的两组基,所以一定存在系数矩阵 R 将它们联系在一起, R 就是旧基在新的标准正交基下的系数: \begin{bmatrix}|&|&|\\a&b&c\\|&|&|\end{bmatri...
施密特正交化GramSchmidt 施密特正交化 GramSchmidt 施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt两个⼈⼀起发明的，但是后来因为施密特名⽓更⼤，所以该⽅法被简记为施密特正交化。借⽤《线性代数》P117-例2 的例⼦来运⾏代码。a1=(1,2,−1)T a2=(−1,3,1)T a3=(4,...
1 正交投影与降维 让我们从某个向量的降维说起。这需要两步,“正交投影”和“降维”,下面一一来说明。 1.1 正交投影 比如下图是三维向量 : 假如将其向某平面 作垂线,得到它的正交投影 : 根据高中的几何知识可知, 是平面 中离三维向量 最近的点,其余点(比如下图中的红点)和 的距离都会更远: 所以,可认为正...
对于多项式来说,也可以应用Gram-Schmidt正交化。 假设我们有一组多项式(p_1(x), p_2(x), \ldots, p_n(x)),它们线性无关。我们想要找到一组正交多项式(q_1(x), q_2(x), \ldots, q_n(x)),使得它们在某个内积空间(比如所有次数不超过(n)的多项式构成的空间,内积定义为(\langle p, q \rangle...
Gram-Schmidt正交化是一种将一组线性无关的向量转化为正交向量的方法。这种方法适用于任何向量空间,尤其是R^n空间中的向量。 步骤详解 1. 初始化第一个向量:首先,选择向量组中的第一个向量,作为第一个正交向量u1,即u1 = v1。 2. 递归构造正交向量:对于k ≥ 2,每个后续向量v_k,构造一个与前面向量正交的...
Gram Schmidt正交化方式
1. Gram-Schmidt正交化的定义 Gram-Schmidt正交化方法是一种将线性空间中的基向量转化为正交标准基的方法。对于线性空间V中的一组线性无关的基向量{v1, v2, ..., vn},经过Gram-Schmidt正交化处理后可得到一组标准正交基{e1, e2, ..., en},使得这组基向量满足内积为0的条件。 2. Gram-Schmidt正交化的...
施密特正交化 GramSchmidt 施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process,是由Gram和schmidt两个人一起发明的,但是后来因为施密特名气更大,所以该方法被简记为施密特正交化。 借用《线性代数》P117-例2 的例子来运行代码。 a1=(1,2,−1)Ta2=(−1,3,1)Ta3=(4,−1,0)Ta1=(1,2,−1)Ta2=(−1,3...
Gram-Schmidt正交化是一种用于计算多项式基函数(多项式基函数是用于逼近信号的基函数,多项式基函数的线性组合可以逼近任意函数)的算法。该算法通过将多项式基函数与输入信号进行内积计算,从而得到一组正交多项式基函数,然后利用这些正交多项式基函数进行信号逼近,可以使得信号逼近误差最小化。 在Gram-Schmidt正交化中,首先选...