Crank-Nicolson 方法的离散形式如下: uin+1−uinΔt=α2(Δt)2[(ui+1n+1−2uin+1+ui−1n+1)+(ui+1n−2uin+ui−1n)] 然而,实现 Crank-Nicolson 方法需要解一个线性方程组,通常涉及矩阵求逆等操作,这里不做讲解。 MATLAB代码示例 clear;clc% 参数和网格设置L=1;% 空间范围长度T=1;% 时间...
下面是推导Crank-Nicolson方法应用于热方程的过程: 我们考虑一维热方程,形式为: [\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}] 其中,(u(x, t))是温度场,(\alpha\)是热扩散系数。 首先,我们将时间和空间进行离散化。假设在时刻(t_n)和位置(x_i)处的温度值为(u...
Crank-Nicolson 方法 为了解决这个麻烦,一个简单的改进是使用中心差分来近似一阶微分 并将方程另一头用平均值替代 全都带入原方程,得到(作了一点简单的变量代换) 这样得到的式子,容易验证波函数的模值是守恒的(不计入截断误差)。尽管每一步都涉及到矩阵方程求解(求一矩阵逆与向量相乘),但考虑到新矩阵相对与上一...
Burgers方程是用来描述可压缩流体流动的非线性偏微分方程,具有广泛的应用。 Crank-Nicolson方法是一种隐式差分格式,将时间和空间上的离散化结合起来。通过将方程中的时间导数用向前和向后的差分表示,可以得到Burgers方程的两种Crank-Nicolson差分格式。 第一种Crank-Nicolson差分格式: 假设Burgers方程为: ∂u/∂t+u...
下面,我将向大家介绍如何编写Crank-Nicolson方法的Matlab程序。 1. 确定偏微分方程 需要确定要求解的偏微分方程。偏微分方程的类型很多,常见的有热传导方程、扩散方程、波动方程等。在这里,我们以热传导方程为例,介绍如何编写Crank-Nicolson方法的Matlab程序。 热传导方程的数学表达式为: \(\frac{\partial u}{\partia...
模型设定 考虑一个各向同性、导热系数固定的墙壁，其中一面均匀受热。由此建立一维非稳态无内热源的导热微分方程，初始条件设定为整个墙壁温度分布为25℃，边界条件则定义了热源一侧壁面温度随时间的变化。应用 Crank-Nicolson 方法求解上述偏微分方程，该方法以其在数值求解偏微分方程时的优良稳定性和精确度...
- 精度高:与显式方法相比,Crank-Nicolson差分格式具有二阶精度,可以获得更准确的数值解。 - 收敛速度快:由于其隐式特性,Crank-Nicolson差分格式的收敛速度通常比显式方法快。 4. 优缺点 Crank-Nicolson差分格式有以下优点: - 稳定性好:由于是一个隐式方法,对于稳定性要求较高的问题特别有效。 - 精度高:具有二...
科技导报 201 29 9 双曲型方程的 Crank-Nicolson 块中心差分方法任宗修 张秀春 银召利摘要的 Crank-Nicolson 格式为基础。 在非等距剖分的网格上得到了近似解和解的一阶导数。 其特点是近似解按离散的 L2模达到最优用 Crank-Nicolson 块中心差分法研究了有界区域上的线性双曲型微分方程的数值解 此方法以块中心...
求解热传导方程的Crank-Nicolson方法陶燕燕(青岛科技大学数理学院,山东青岛266061)[摘要]给出了数值求解热传导方程的一种Crank-Nicolson格式,其截断误差为O(τ..
交替分段方法;Crank-Nicolson格式;非对称差分格式; 绝对稳定;并行计算中图分类号:O241文献标识码:A 引言变系数对流-扩散方程的数值解法在非均匀介质中的热传导、粒子扩散等物理现象的研究中有广泛应用,例如在盆地发育史数值模拟中古地热的传递就属于这类问题·因此,研究该问题的并行数值计算方法是现代科学飞速发展的...