Bolzano-Weierstrass定理每个有界序列都含有收敛的子序列:设 (an)n=0∞ 有界(即存在实数M>0,使得对于 ∀n∈N,|an|≤M ),那么 (an)n=0∞ 至少有一个子序列收敛。 证明(用到了上面的定理): (i) 若(an)n=0∞ 收敛到 L ,则存在 ,N⇒∀n≥N,|an−L|<ε⇒|an|−|L| ≤|an−L|...
设E⊂Rn,若E中的点x不是E的聚点,则称x为E的孤立点。 下面就来证明Bolzano-Weierstrass定理。在分学分析中我们都知道“有界数列必有收敛子数列”,它是作为实数系基本定理,与“确界存在定理”、“单调有界数列必收敛”、“闭区间套定理”、“柯西收敛原理”相互等价的,今天说的“Bolzano-Weierstrass定理”可以看...
【解析】 证明 我们就R中的有界点列来证明.R中的情形是一样的.设(x}是R 中的一个有界点列, i^1x_i=(x_i^i⋅x_2^ε⋅x_j^1)(i-1,2⋯) .由于 |x_i|≤|x,|≤M|≤|i|≤1,2,⋯) . 故 \(x_1^4\) 是一个有界数列.根据数列中的Bolzano-Weierstrass定理,存在(i}的子 列 \...
1. 定理陈述 Bolzano-Weierstrass 定理又称柯西-波尔查诺定理,它的具体陈述如下:对于任意有界的实数数列 {an},必存在收敛的子数列{a nk},即存在一个收敛到某一实数极限的子数列。 2. 证明准备 证明Bolzano-Weierstrass 定理需要借助实数的有界性和确界原理。我们知道实数集合有上界和下界,对于有界数列而言,存在一个...
波尔查诺－魏尔施特拉斯定理是数学拓扑学与实分析中用以刻划 中的紧集的基本定理，得名于数学家伯纳德·波尔查诺与卡尔·魏尔施特拉斯。波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理说明，有限维实向量空间 中的一个子集E是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当E是有界闭集。历史 这个定理最早由伯纳德·波尔扎诺证明...
Bolzano-Weierstrass定理最早由19世纪的数学家Bolzano和Weierstrass独立提出并证明。Bolzano是捷克著名的数学家,他在研究实数列的性质时发现了这一定理。而后来的Weierstrass在他的研究中也得到了相似的结论。这个定理通常被称为Bolzano-Weierstrass定理,以纪念这两位杰出的数学家。 三、Bolzano-Weierstrass定理的证明 接下来,...
应用Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定理. 相关知识点: 试题来源: 解析 证 采用反证法.设f(x)在闭区间 [a,b] 上连续,但无界,则存在点列 \(x_n\) , x_n∈[a,b] ,满足 |f(x_n)|n ,即 lim_(n→∞)f(x_n)=∞ . 由 Bolzano-Weierstrass 定理,存在 n→ 子列 \(x_n\...
Bolzano-Weierstrass定理,也被称为致密性定理,是数学分析中的一项基本定理。该定理的命名来源于两位数学家:伯纳德·波尔查诺和卡尔·魏尔施特拉斯。尽管波尔查诺在证明介值定理时附带证明了这个定理,但他的证明后来散佚。而卡尔·魏尔施特拉斯则独立发现并证明了这个定理,使其在数...
Bolzano-Weierstrass 定理(波尔查诺-威尔斯特拉斯定理)又称聚点定理、列紧性定理,是一个实分析和拓扑中的定理,在实数理论中作为完备性等价定理之一。 在 Euclid 空间中,任意有界闭集中的无限集合都有一个极限点(即聚点),或一个有界闭集中的任意序列必有一子序列在其