黎曼度量是微分几何中的核心概念,它通过在光滑流形的每一点定义切空间上的内积结构,使得流形上可进行长度、角度等几何量的测量。其核心性质包括正
流形上的黎曼度量就是在各个区图上选择相容的黎曼度量的方法。所谓"相容"就是指当两个区图重叠时，在重叠的部分上距离一定要相同。前面说过，一旦做到了这一点，就可以定义其上两点的距离为连接它们的最短路径的长度。在一个流形上定义了黎曼度量以后，就有可能来定义许多其他概念，例如角度和体积。还可以定义重要...
黎曼度量的计算问题可以简单归纳为下面几个问题:1. 给定拓扑,如何计算流形的标准黎曼度量,例如常值曲率度量;2. 给定曲率,如何计算满足曲率条件的黎曼度量;3. 给定特定条件,例如和乐群,如何计算满足条件的黎曼度量;4. 给定黎曼度量,如何计算流形的等距嵌入。针对不同维数的流形,不...
本文将分为两篇,在第一篇中,我们从Fisher信息矩阵(FIM)的定义出发,推导出Fisher矩阵与KL散度的关系,并建立如下结论:FIM可以作为概率模型的参数空间的一种黎曼度量。在第二篇中,我们推导自然梯度中为何引入FIM来修正梯度方向,以及自然梯度的一些性质。 Score function与FIM 假设我们有一个由θ参数化的概率模型,模型...
黎曼度量在广义相对论中有着重要应用。能帮助描述时空的弯曲特性。通过黎曼度量,可以研究空间的对称性。还可以分析空间中的向量场。黎曼度量与流形的概念紧密相关。 是研究流形性质的重要工具。它影响着空间中曲线的几何性质。决定了空间中不同方向的度量标准。黎曼度量可以帮助判断空间的可延展性。为研究空间的曲率提供...
黎曼几何:黎曼度规 流形不流行了 黎曼几何(9):比较定理(上篇) inversioner 黎曼几何简介 笔者近日在学习黎曼几何,在初步阅读多本参考书籍后,发现John M Lee所著的《Introduction to Riemannian Manifold》的第一章写的非常生动形象。此章作为简介部分,深刻描绘出了黎曼几何与… 懦夫救星 黎曼几何(1):黎曼度量 inver...
弯弯曲曲的空间里,咋测量长度和角度?这可把古人愁坏了。直到黎曼老爷子横空出世,给出了一套妙不可言的理论 - 黎曼几何。这玩意儿不光能测量各种扭曲空间里的距离,还能帮咱们理解宇宙的形状呢! 从平面到曲面:度量张量 平面上测距离简单,一把直尺就搞定。但到了曲面上可就不是这么回事儿了。比如地球表面,你想测量...
黎曼度量 的推理形式如下: 根据坐标诱导基 偏导基 点的切空间 上的点u和v可以表示为 切空间上的点的表示形式 这里将黎曼度量看成一个满足双线性型的函数 所以有 满足双线性型 上式第二部的简化 因为这里是与切空间内的点的坐标无关的 由于这里的 ...
黎曼度量（Riemannian metric）是微分几何中的一个基本概念，它为切空间上的向量赋予长度和角度的概念，从而使得在流形（manifold）这样的几何结构上可以进行距离和角度的度量。直观上，流形可以被视为在每个点附近看起来像欧几里得空间的空间。换句话说，尽管流形在大尺度上可能具有复杂的形状，但在局部范围内，我们可以...
低正则性的黎曼度量及其弱意义下的曲率条件是现代黎曼几何的重要课题之一,在庞加莱猜想,Yau-田-Donaldson猜想以及Penrose猜想等重要问题中都起着关键作用。该文研究了弱数量曲率相关的几何问题,对正质量定理、环面数量曲率刚性定理和Yamabe问题等核心问...