【解析】 解 全连续算子的概念源于积分方程的研究,若算子A将赋 范线性空间中的每个有界集映为线性赋范空间中的致密集(相对 列紧集),则称A是全连续算子. 全连续算子$$ A : X \rightarrow Y $$的一个等价定义是,A是线性的,且对 X中的任何有界点列{ $$ x , $$},{7 $$ x _ { n } $$}在Y中有收敛的子列. 由
(3) 闭算子不一定是连续算子。上面的分析使得闭算子不一定是连续算子变得十分清晰了,因为闭算子的定义中,有个条件,也就是xn→x0,Txn→y0,写成二维向量的形式就是 (xn,Txn)→(x0,y0) ,这就意味着定义域D(T)中收敛的点列,经过闭算子作用后不一定收敛,即使收敛也可能 Tx0≠y0 ,而连续算子的定义是,收敛...
显然每一Lipschitz连续算子都是一致连续的. 下面来说明序列连续与连续是等价的,其实不过是两种视角罢了. 命题:给定算子A:M⊂X→Y,其中X和Y是K上的赋范空间.则以下两种陈述等价:(1).A是连续的;(2).A是序列连续的. Proof:(1)⇒(2):设(un)是M中一列收敛到u的元.若Aun没能收敛到Au,说明存在Au充分...
度量空间中的连续算子 假设有两个度量空间 $X$ 和 $Y$(即定义了距离函数的集合),一个函数 $f: X \rightarrow Y$ 被定义为连续的,如果对于任意给定的 $\epsilon > 0$ 和 $x_0 \in X$,都存在一个 $\delta > 0$,使得当 $d_X(x, x_0) < \delta$ 时,有 $d_Y(f(x), f(x_0)) < ...
全连续算子的另一典型例子，是L2【0，1】空间上的积分算子。若K(s，t)为正方形D={(s，t)|0≤s,t≤1}上平方可积函数，则由K(s，t)确定的L2【0,1】到自身的算子K，即为以K(s，t)为核的积分算子，且是全连续算子。其中，若s<t时，K(s，t)=0，则称此算子为沃尔泰拉算子。在巴拿赫...
全连续算子，又称紧算子，是线性算子中极为重要且接近有限维空间性质的一类算子。在探讨线性代数中关于线性变换对应的线性方程组求解时，非齐次线性方程组若存在唯一解，则相应的齐次方程组仅具有零解。如果齐次方程组退化，共轭方程组也必然退化，且非齐次方程组可解的条件是自由项需与共轭齐次方程组的非...
由Proposition 1.2可知, 存在 X 的有限维子空间 X_{\tau} \ni p 以及有界连续算子 F_{\tau}\colon \overline{\Omega}\rightarrow X_{\tau} , 使得 \Vert F(x) - F_{\tau}(x)\Vert < \tau, \qquad \forall x \in \overline{\Omega}. \\令\Omega_{\tau} = \Omega \cap X_{\tau} ,...
这表明,任何赋范线性空间都可以扩张成一个Banach空间,进一步说明了赋范线性空间具有连续性的特性。 这个定理的意思就是,如果把线性算子T当作一个函数来看待,那么这个函数也具有连续性的问题。由于赋范线性空间的连续性,从而导致了定义在这个空间上的线性算子的连续性。
1.2、全连续算子具有紧性,在泛函分析中扮演着重要角色。 二、2.1、全连续算子构成了一类重要的算子类,对于研究算子的结构特性具有重要意义。2.2、全连续算子具有很好的性质,如保范性,使其在诸多数学分支中具有重要应用。 三、3.1、全连续算子提供了研究无限维空间之间映射关系的重要工具。3.2、全连续算子与其他算子类...