,λn,则λ_1λ_2⋯λ_n=(-1)^n(-1)^(n+1)=-1 .由于正交变换的实特征根只能是±1,而虚特征根成对出现,且模为1,即因此,如果A的全部特征值为λ2k+1,…,λn,则有λ2k+1…λn=-1.故至少有一个λ,为-1,即A(或T)必有特征根-1.证法Ⅱ设T为n维欧氏空间V的一个第二类正交变换,A是在...
证明:第二类正交变换一定有特征值-1. 答案 证证法I:设T为n维欧氏空间V的一个第二类的正交变换,A是T在某一标准正交基下的矩阵.因此,A为正交方阵,且A|=-1.令 f(λ)=|λE-A| ,则其常数项为(-1)^nA|=(-1)^(n+1) .设f(λ)的n个根是λ1,λ2,…,λn,则λ_1λ_2⋯λ_n=(-1)^n(...